Variable bornée dans L2

LewisK
LewisK
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

J'ai $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\{-1,1\}$ (j'ai sa loi mais peu importe à la rigueur, c'est sur ce que je dois montrer que j'ai un doute !) (et définies dans l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{F},P)$)
On définit $S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{X_k}{k}$.

Pour montrer que $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée dans $L^2((\Omega,\mathcal{F},P))$, je dois bien montrer que :
1) pour tout entier positif $n$, $S_n$ est de carré sommable (mais là formellement, je ne sais pas quoi montrer) ?
2) il existe $M>0$ tel que pour tout $n>0$, $\lvert S_n \rvert \leq M$ ? ça me semble compliqué si c'est bien ça puisqu'en valeur absolue il s'agit de la série harmonique, qui diverge...

Merci d'avance !

Réponses

  • LewisK
    LewisK
    Je lis ailleurs que "bornée dans $L_2$" se traduit par "pour tout $n$, la norme $L_2$ de $S_n$ est inférieure à un certain $M$". Est-ce correct ?
  • Poirot
    Poirot
    Tes deux points sont corrects. Le premier est évident puisque $L^2$ est un espace vectoriel et les $X_i$ en font partie. Pour ton deuxième message, on dirait que tu réécris le point 2) de manière moins rigoureuse. Il s'agit bien de "il existe $M > 0$ tel que pour tout $n \geq 1$, $||S_n||_2 \leq M$". C'est la définition d'une suite bornée dans un espace vectoriel normé.

    Par contre il n'y a pas de raison que la norme $L^2$ de $S_n$ soit (un multiple constant) du $n$-ième nombre harmonique, ça va fortement dépendre des lois des $X_i$.
  • LewisK
    LewisK
    Merci beaucoup. Peux-tu préciser la réponse à la question 1 ? J'ai bien compris que c'était un E.V. donc stable par combinaison linéaire donc si on montre que les $X_i$ sont dans $L^2$ on a $S_n$ dans $L^2$. En revanche, quel est l'argument pour justifier que les $X_i$ sont de carré sommable ? Le fait que c'est une variable discrète ?

    Pour mon message initial, j'avais pris la valeur absolue de $S_n$ (et donc on aurait une somme harmonique puisque les $X_i$ prenne $1$ ou $-1$ comme valeurs), au lieu de la norme $L^2$ !). Merci pour tes compléments.
  • Chalk
    Chalk
    Oui suite bornée dans $L^2$ signifie bien que la suite des normes $L^2$ est bornée.

    Pour le premier point, non une loi discrète n'a aucune raison d'être $L^2$. En revanche, le fait que la variable aléatoire est bornée presque sûrement prouve qu'elle est dans $L^p$ pour n'importe quel $p$.
  • LewisK
    LewisK
    Merci beaucoup pour ta réponse. J'essaie de rassembler les morceaux mais je peine à comprendre pourquoi bornée implique $L^2$. Je pense qu'il me manque des éléments sur l'intégrale de Lebesgue !
  • Chalk
    Chalk
    Oui clairement, parce que c'est la base de l'intégration :-D

    $|X| \leq M \implies \int_\Omega |X| dP \leq M P( \Omega) = M$.
  • LewisK
    LewisK
    Oui effectivement vu comme ça... C'est bête mais ça vient d'éclairer tout un tas de choses sur l'intégrale de Lebesgue. Merci beaucoup pour ton temps.
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