Variable bornée dans L2
Bonjour,
J'ai $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\{-1,1\}$ (j'ai sa loi mais peu importe à la rigueur, c'est sur ce que je dois montrer que j'ai un doute !) (et définies dans l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{F},P)$)
On définit $S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{X_k}{k}$.
Pour montrer que $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée dans $L^2((\Omega,\mathcal{F},P))$, je dois bien montrer que :
1) pour tout entier positif $n$, $S_n$ est de carré sommable (mais là formellement, je ne sais pas quoi montrer) ?
2) il existe $M>0$ tel que pour tout $n>0$, $\lvert S_n \rvert \leq M$ ? ça me semble compliqué si c'est bien ça puisqu'en valeur absolue il s'agit de la série harmonique, qui diverge...
Merci d'avance !
J'ai $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\{-1,1\}$ (j'ai sa loi mais peu importe à la rigueur, c'est sur ce que je dois montrer que j'ai un doute !) (et définies dans l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{F},P)$)
On définit $S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{X_k}{k}$.
Pour montrer que $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée dans $L^2((\Omega,\mathcal{F},P))$, je dois bien montrer que :
1) pour tout entier positif $n$, $S_n$ est de carré sommable (mais là formellement, je ne sais pas quoi montrer) ?
2) il existe $M>0$ tel que pour tout $n>0$, $\lvert S_n \rvert \leq M$ ? ça me semble compliqué si c'est bien ça puisqu'en valeur absolue il s'agit de la série harmonique, qui diverge...
Merci d'avance !
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Réponses
Par contre il n'y a pas de raison que la norme $L^2$ de $S_n$ soit (un multiple constant) du $n$-ième nombre harmonique, ça va fortement dépendre des lois des $X_i$.
Pour mon message initial, j'avais pris la valeur absolue de $S_n$ (et donc on aurait une somme harmonique puisque les $X_i$ prenne $1$ ou $-1$ comme valeurs), au lieu de la norme $L^2$ !). Merci pour tes compléments.
Pour le premier point, non une loi discrète n'a aucune raison d'être $L^2$. En revanche, le fait que la variable aléatoire est bornée presque sûrement prouve qu'elle est dans $L^p$ pour n'importe quel $p$.
$|X| \leq M \implies \int_\Omega |X| dP \leq M P( \Omega) = M$.