Qcm et réponses aléatoires

Le candidat $i=1,\ldots,2000$ a un nombre de points aléatoires $X_i\sim B(1/4,25).$ Soit $G(k)=\Pr(X_i\geq k).$ Soit $N_k$ le nombre de $i$ tels que $X_i\geq k.$ Alors $ N_k\sim B(G(k), 2000).$ Comme $2000$ est très grand on utilise $Z\sim N(0,1)$ de fonction de répartition $\Phi$ ; pour simplifier on note $m_k=2000 G(k)$ et $\sigma_k=20\sqrt{5G(k)(1-G(k))}$ la moyenne et la variance de $N_k$ pour écrire :
$$\Pr(N_k\geq 30)=\Pr(\frac{N_k-m_k}{\sigma_k}\geq \frac{30-m_k}{\sigma_k})\sim \Pr(Z\geq \frac{30-m_k}{\sigma_k})=1-\Phi(\frac{30-m_k}{\sigma_k}) \\
P_k=\Pr(N_k=30)=\Pr(N_k\geq 30)-\Pr(N_k\geq 31)=\Phi(\frac{31-m_k}{\sigma_k})-\Phi(\frac{30-m_k}{\sigma_k}).
$$ Il est évidemment impossible de choisir $k$ pour que $P_k=1$ et le problème est mal posé. Après avoir calculé $G(25), G(24),$ etc. pour les grandes valeurs de $k,$ on peut seulement chercher $k$ tel que
-- ou bien $P_k$ est maximum
-- ou bien plus simplement $|m_k-30|$ est minimum.

Dès qu'il y aura plus de 20 candidats, on pourra avoir des problèmes. C'est un effet de base du hasard.