Dépassement d'un seuil par une martingale

redmann
redmann
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
J'ai un exercice dans lequel il m'est demandé de trouver la formule de la probabilité $\mathbb{P}(\tau^L<\tau^F)$. Le contexte est le suivant.

Je dispose d'un processus strictement positif $(X_t)$ tel qu'il existe une constante $\alpha$ telle que $(X_t^{\alpha})$ soit une martingale et $X_0=\omega$. J'ai aussi deux temps d'arrêt $\tau^L$ et $\tau^F$ avec $F<T$ définis par $\tau^x=\inf\{t \geq 0 \mid X_t=x\}$. Le tout par rapport à une filtration brownienne standard (rien de particulier).

J'ai essayé d'utiliser le théorème d'arrêt de Doob avec le temps d'arrêt $\min(\tau^F,\tau^T)$ mais je n'y arrive pas du tout.
Auriez-vous des idées pour me débloquer svp ? (pas forcément une réponse mais des indications peut-être ?) Merci !

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    En regardant l'espérance de la martingale $X_{t\wedge \tau^T\wedge \tau^L}^\alpha$ aux temps $t=0$ et $t\to\infty$, on doit pouvoir s'en sortir. On a peut-être besoin de faire des hypothèses comme $ \tau^T\wedge \tau^L<\infty$ p.s. et de distinguer des cas.
  • redmann
    redmann
    Je pense avoir trouvé une solution, je ne sais pas si c'est correcte. Je note $p=\mathbb{P}(\tau^L<\tau^F)$, on peut remarquer que : $\mathbb{E}[X^\alpha_{min(\tau^F,\tau^L)}]=pL^\alpha + (1-p)F^\alpha$ ceci donne $p=\frac{\mathbb{E}[X^\alpha_{min(\tau^F,\tau^L)}]-F^\alpha}{L^\alpha-p^\alpha}$.

    D'autre part, on remarque que $X_{min(t,\tau^F,\tau^L)} \leq L$ car $F<\omega<L$ (j'ai oublié de le préciser, désolé) ce qui permet de conclure 2 choses : 1- Ce processus est aussi une martingale, donc son espérance est $\omega^\alpha$ et 2- on peut appliquer la CV dominée pour trouver que $\mathbb{E}[X^\alpha_{min(\tau^F,\tau^L)}]=\omega^\alpha$. Ce qui donne une expression pour la probabilité :

    $p=\frac{\omega^\alpha-F^\alpha}{L^\alpha-p^\alpha}$
  • redmann
    redmann
    Bonjour Calli,

    Je viens de voir votre réponse. J'ai développé ma démonstration sans faire attention à la condition que tu as évoqué vers la fin ... C'est vrai qu'il est nécessaire que le min entre les deux temps d'arrêts soit fini presque sûrement, sinon ce que j'ai écrit n'a aucun sens.

    Merci !
  • Calli
    Calli
    Formidable que tu aies trouvé tout seul ! ;-)

    On n'est pas sûr de pouvoir appliquer la convergence dominée. On le peut par exemple si $(X_t)$ est p.s. continu car dans ce cas, $0\leqslant X_{t\wedge \tau^T\wedge \tau^L}^\alpha\leqslant L^\alpha$ p.s. par TVI. Je ne sais pas si tu as cette hypothèse.
  • redmann
    redmann
    Oui, X est continu PS (une fonction de browniens) donc mon raisonnement tient encore. C'est vrai que le TVI est utilisable même dans le cadre stochastique, en général j'ai peur de m'aventurer aussi loin car bien que les MB soient continus, le fait que ça soit fractal me rend nerveux :-D .

    Merci pour ton aide ! Je vais adapter la démo !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 16

CidrolinFoysLipschitzabcdgerard0manurakamstfj +8 Invités