Fonction linéaire par morceaux de v.a

Bonsoir,

Le prof nous a donné cet exercice sans préciser comment il a trouvé la solution, et j'avoue que je n'arrive pas à retracer la méthode.
J'ai essayé de faire:
P(Y<y) = P(g(X)<y)
= P(g(X)<y | x<-1).P(x<-1) + P(g(X)<y | -1<x<1).P(-1<x<1) + P(g(x)<y | x>1).P(x>1)
= 1*1/4 + Fx(y)*1/2 + 1*1/4

J'aimerais bien savoir
1) pourquoi mon raisonnement est faux
2) comment il faudrait faire

Merci d'avance !