Convergence L2 d'une variable aléatoire

Bonjour,

J'ai une suite i.i.d. de variables aléatoires $X_i$ qui prennent les valeurs $1$ ou $-1$ avec probabilité $\dfrac{1}{2}$. On pose $S_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{X_k}{k}$. On montre d'abord que $S_n$ est bornée dans $L_2$. En l'occurrence, on peut même prouver (je crois) que la norme $L_2$ de $S_n$ tend vers $\dfrac{\pi^2}{6}$.

On me demande de montrer que $S_n$ converge dans $L_2$. J'ai l'intuition que $S_n$ converge vers une loi normale centrée de variance $\dfrac{\pi^2}{6}$ (ce vers quoi converge $S_n$ est d'espérance nulle ou tendant vers $0$, on a une parfaite symmétrie de la variable vers laquelle tend $S_n$ et quand $n\to\infty$ $S_n$ peut prendre n'importe quelle valeur théoriquement). J'aimerais utiliser le fait que $S_n$ est "presque" une espérance empirique (très grossièrement puisque chaque nouveau terme contribue moins à la variance que le précédent, mais lorsque $n$ devient grand ils contribuent presque autant à l'espérance empirique) et sans doute des équivalents avec la loi des grands nombres ou le TLC pour conclure.

Est-ce que je dis n'importe quoi ? Et si ça se tient, comment aller plus loin ? Peut-être que l'intuition est bonne mais qu'il y a beaucoup plus simple ou une autre direction plus viable ?

Toute suggestion est la bienvenue (si possible je ne veux pas la réponse svp c'est pour un DM et j'ai envie de le faire par moi-même !) !