Convergence L2 d'une variable aléatoire
Bonjour,
J'ai une suite i.i.d. de variables aléatoires $X_i$ qui prennent les valeurs $1$ ou $-1$ avec probabilité $\dfrac{1}{2}$. On pose $S_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{X_k}{k}$. On montre d'abord que $S_n$ est bornée dans $L_2$. En l'occurrence, on peut même prouver (je crois) que la norme $L_2$ de $S_n$ tend vers $\dfrac{\pi^2}{6}$.
On me demande de montrer que $S_n$ converge dans $L_2$. J'ai l'intuition que $S_n$ converge vers une loi normale centrée de variance $\dfrac{\pi^2}{6}$ (ce vers quoi converge $S_n$ est d'espérance nulle ou tendant vers $0$, on a une parfaite symmétrie de la variable vers laquelle tend $S_n$ et quand $n\to\infty$ $S_n$ peut prendre n'importe quelle valeur théoriquement). J'aimerais utiliser le fait que $S_n$ est "presque" une espérance empirique (très grossièrement puisque chaque nouveau terme contribue moins à la variance que le précédent, mais lorsque $n$ devient grand ils contribuent presque autant à l'espérance empirique) et sans doute des équivalents avec la loi des grands nombres ou le TLC pour conclure.
Est-ce que je dis n'importe quoi ? Et si ça se tient, comment aller plus loin ? Peut-être que l'intuition est bonne mais qu'il y a beaucoup plus simple ou une autre direction plus viable ?
Toute suggestion est la bienvenue (si possible je ne veux pas la réponse svp c'est pour un DM et j'ai envie de le faire par moi-même !) !
J'ai une suite i.i.d. de variables aléatoires $X_i$ qui prennent les valeurs $1$ ou $-1$ avec probabilité $\dfrac{1}{2}$. On pose $S_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{X_k}{k}$. On montre d'abord que $S_n$ est bornée dans $L_2$. En l'occurrence, on peut même prouver (je crois) que la norme $L_2$ de $S_n$ tend vers $\dfrac{\pi^2}{6}$.
On me demande de montrer que $S_n$ converge dans $L_2$. J'ai l'intuition que $S_n$ converge vers une loi normale centrée de variance $\dfrac{\pi^2}{6}$ (ce vers quoi converge $S_n$ est d'espérance nulle ou tendant vers $0$, on a une parfaite symmétrie de la variable vers laquelle tend $S_n$ et quand $n\to\infty$ $S_n$ peut prendre n'importe quelle valeur théoriquement). J'aimerais utiliser le fait que $S_n$ est "presque" une espérance empirique (très grossièrement puisque chaque nouveau terme contribue moins à la variance que le précédent, mais lorsque $n$ devient grand ils contribuent presque autant à l'espérance empirique) et sans doute des équivalents avec la loi des grands nombres ou le TLC pour conclure.
Est-ce que je dis n'importe quoi ? Et si ça se tient, comment aller plus loin ? Peut-être que l'intuition est bonne mais qu'il y a beaucoup plus simple ou une autre direction plus viable ?
Toute suggestion est la bienvenue (si possible je ne veux pas la réponse svp c'est pour un DM et j'ai envie de le faire par moi-même !) !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Tu as l'air de t'être trompé en écrivant la définition de $S_n$.
Il y a en probabilites une loi des types purs due je crois a Paul Levy et rarement decrite (elle l'est dans le livre de Leo Breiman' Probability publie dans les annees1970 chez Addison Wesley). Elle dit que si on somme une infinite de va discretes independantes, alors la loi de la somme est ou purement atomique, ou purement absolument continue, ou purement singuliere. Il se pourrait bien qu'on soit ici dans le dernier cas, mais je n'y ai pas reflechi.
En gros je disais que la série des normes $L^2$ convergeait ce qui est faux (et au passage ça aurait prouvé que la suite des v.a. $1/k$ converge dans $L^2$ ce qui est faux aussi).
@Calli : comment tu t'en sors sans Pythagore, juste avec la complétude ? (c'est là que je m'étais raté).
Moi aussi j'utilise Pythagore (ou l'additivité de la variance dans le cas de variables indépendantes, ce qui revient au même).
Edit: amélioration de l'image
= \left|\, \prod_{k=1}^{\infty}\cos \Big({\frac\xi k}\Big)\right|
\leqslant \prod_{k\in\Bbb N, |\xi/k|<b}\Big(1-a\frac{\xi^2}{k^2}\Big)
\leqslant \exp\Big( - \sum_{k>|\xi|/b}a \frac{\xi^2}{k^2}\Big)
\leqslant \exp\Big(-C\xi^2 \Big({\frac{|\xi|}{b}}\Big)^{-1} \Big)
= \exp(-C'|\xi|)$$
avec $C,C'>0$ des constantes indépendantes de $\xi$. Donc $\varphi_S\in L^1$. Et comme la transformée de Fourier inverse d'une fonction intégrable est une fonction continue, $S$ possède une densité continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Et cette densité est même ${\cal C}^\infty$ puisque $\varphi_S$ est à décroissance rapide.
J'ai en effet abusé, décidément ... Mais on peut appliquer le critère de Cauchy, et ça revient au même argument.
Cependant quelque chose m'intrigue : certains d'entre vous (ou alors j'ai mal compris) ont commencé à justifier que la variable $S_n$ convergeait dans $L_2$ avant même de trouver la variable "limite" $S$ vers laquelle tend $S_n$. J'ai du mal à me représenter comment on peut justifier qu'une suite de variable aléatoire converge dans $L_2$ par des arguments "théoriques" : par exemple, a-t-on un argument comparable à "une suite de variable aléatoire est bornée + croissante donc elle converge" (il faudrait définir la croissance d'une suite de VA..) ?
C'est peut-être là qu'intervient le fait que l'espace $L_2$ est complet ? (ce à quoi tu faisais référence @Calli)