Propriété de la limite d'une suite de VAR

LewisK · January 2021

Bonjour,

On a $X_n$ une suite de variables aléatoires qui converge vers $X$. Existe-t-il des types de convergence qui garantissent que $X_n$ et $X$ partagent certaines propriétés ? Notamment leur espérance, variance... D'autre part, qu'en est-il de l'indépendance d'une variable et de sa limite ? Peuvent-elles/sont-elles indépendantes ? Sous quelles conditions ?

Ma question est large mais ça m'intrigue, notamment l'histoire de l'indépendance.

Merci d'avance !

Poirot · January 2021

S'il y a convergence $L^1$ alors l'espérance de $X$ est la limite des espérances des $X_n$. Pareil pour la variance et la convergence $L^2$. Pour ta question sur l'indépendance ça n'a pas de sens la limite d'une variable aléatoire !

LewisK · January 2021

Merci pour ta réponse. Qu'est ce qui justifie ce résultat en fait ?

Ma formulation est hasardeuse mais cela a bien un sens de parler de l'indépendance de $X_n$ et $X$ non ?

Poirot · January 2021

Cherche à le montrer, tu verras que ce n'est pas très dur.

Oui la question a bien un sens comme ça, je n'ai pas de réponse particulière qui me vient.

Chalk · January 2021

La famille limite+suite peut ne pas être indépendante évidemment (prendre une suite constante), mais peut être indépendante (prendre une limite presque sûrement constante).

LewisK · January 2021

Merci pour vos réponses.

@Poirot, Pour la variance, est-ce que le raisonnement suivant est correct ?

On a $X_n$ qui converge dans $L_2$ vers $X$.

Alors $\lvert \lvert X \rvert \rvert_2 = \lvert \lvert X - X_n + X_n \rvert \rvert_2 \leq \lvert \lvert X - X_n \rvert \rvert_2 + \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2$ (par inégalité triangulaire)
De la même manière on a :
$ \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2 \leq \lvert \lvert X - X_n \rvert \rvert_2 + \lvert \lvert X \rvert \rvert_2$

Donc finalement :
$ \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2 - \lvert \lvert X_n - X \rvert \rvert_2 \leq \lvert \lvert X \rvert \rvert_2 \leq \lvert \lvert X_n - X \rvert \rvert_2 + \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2$

Comme enfin $ \lvert \lvert X_n - X \rvert \rvert_2$ tend vers 0, et comme $ \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2 = \mathbb{V}(X_n)$ on a le résultat attendu ?

Poirot · January 2021

Tu n'as pas la bonne définition de la variance !

LewisK · January 2021

Effectivement, j'ai effectué ce raisonnement en ayant en tête un exemple où les variables sont centrées et donc les moments d'ordre 2 sont égales aux variances, est-ce bien correct dans ce cas ?
Si ce que j'ai fait est correct pour justifier que le moment d'ordre 2 de $X$ est bien égal à la limite des moments d'ordre 2 des $X_n$ j'imagine qu'on passe facilement au résultat similaire concernant les variances ?

edit: je me demande s'il y n'y a pas une histoire de carré que j'ai oublié quand même...

Poirot · January 2021

Même si tes variables sont centrées, on n'a pas $\text{Var}(X) = ||X||_2$ en général. Oui c'est une histoire de carré.

LewisK · January 2021

Merci pour ta réponse. On a quand même bien : $V(X) = \lvert \lvert X \rvert \rvert_2^2 - \lvert \lvert X \rvert \rvert_1^2$ ?
Et dans ce cas pour des variables centrées, mon raisonnement précédent donne l'égalité des écarts-types et donc des variance non ?

Poirot · January 2021

Non cette formule est fausse. Attention à ne pas confondre $\mathbb E(X)$ et $||X||_1$.

Je reviens sur ce message : tu t'embêtes pour pas grand-chose, tu redémontres l'inégalité triangulaire inversée, qui dit que $|||X||_2 - ||X_n||_2| \leq ||X-X_n||_2 \underset{n \to +\infty}{\to} 0$.

LewisK · January 2021

Effectivement je rédemontre simplement l'inégalité triangulaire renversée.
Pour la variance, on a bien : $V(X) = \lvert \lvert X \rvert \rvert_2$ ?
Pour l'espérance : $E( \lvert X \rvert) = \lvert \lvert X \rvert \rvert_1$, c'est ça ?

Poirot · January 2021

Oui pour l'espérance. Non pour la variance, comme déjà dit dans ce message.

Par définition, $\mathrm{Var}(X) = \mathbb E((X-\mathbb E(X))^2) = \mathbb E(X^2) - \mathbb E(X)^2$ (formule de König-Huygens).