Propriété de la limite d'une suite de VAR
Bonjour,
On a $X_n$ une suite de variables aléatoires qui converge vers $X$. Existe-t-il des types de convergence qui garantissent que $X_n$ et $X$ partagent certaines propriétés ? Notamment leur espérance, variance... D'autre part, qu'en est-il de l'indépendance d'une variable et de sa limite ? Peuvent-elles/sont-elles indépendantes ? Sous quelles conditions ?
Ma question est large mais ça m'intrigue, notamment l'histoire de l'indépendance.
Merci d'avance !
On a $X_n$ une suite de variables aléatoires qui converge vers $X$. Existe-t-il des types de convergence qui garantissent que $X_n$ et $X$ partagent certaines propriétés ? Notamment leur espérance, variance... D'autre part, qu'en est-il de l'indépendance d'une variable et de sa limite ? Peuvent-elles/sont-elles indépendantes ? Sous quelles conditions ?
Ma question est large mais ça m'intrigue, notamment l'histoire de l'indépendance.
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Réponses
Ma formulation est hasardeuse mais cela a bien un sens de parler de l'indépendance de $X_n$ et $X$ non ?
Oui la question a bien un sens comme ça, je n'ai pas de réponse particulière qui me vient.
@Poirot, Pour la variance, est-ce que le raisonnement suivant est correct ?
On a $X_n$ qui converge dans $L_2$ vers $X$.
Alors $\lvert \lvert X \rvert \rvert_2 = \lvert \lvert X - X_n + X_n \rvert \rvert_2 \leq \lvert \lvert X - X_n \rvert \rvert_2 + \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2$ (par inégalité triangulaire)
De la même manière on a :
$ \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2 \leq \lvert \lvert X - X_n \rvert \rvert_2 + \lvert \lvert X \rvert \rvert_2$
Donc finalement :
$ \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2 - \lvert \lvert X_n - X \rvert \rvert_2 \leq \lvert \lvert X \rvert \rvert_2 \leq \lvert \lvert X_n - X \rvert \rvert_2 + \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2$
Comme enfin $ \lvert \lvert X_n - X \rvert \rvert_2$ tend vers 0, et comme $ \lvert \lvert X_n \rvert \rvert_2 = \mathbb{V}(X_n)$ on a le résultat attendu ?
Si ce que j'ai fait est correct pour justifier que le moment d'ordre 2 de $X$ est bien égal à la limite des moments d'ordre 2 des $X_n$ j'imagine qu'on passe facilement au résultat similaire concernant les variances ?
edit: je me demande s'il y n'y a pas une histoire de carré que j'ai oublié quand même...
Et dans ce cas pour des variables centrées, mon raisonnement précédent donne l'égalité des écarts-types et donc des variance non ?
Je reviens sur ce message : tu t'embêtes pour pas grand-chose, tu redémontres l'inégalité triangulaire inversée, qui dit que $|||X||_2 - ||X_n||_2| \leq ||X-X_n||_2 \underset{n \to +\infty}{\to} 0$.
Pour la variance, on a bien : $V(X) = \lvert \lvert X \rvert \rvert_2$ ?
Pour l'espérance : $E( \lvert X \rvert) = \lvert \lvert X \rvert \rvert_1$, c'est ça ?
Par définition, $\mathrm{Var}(X) = \mathbb E((X-\mathbb E(X))^2) = \mathbb E(X^2) - \mathbb E(X)^2$ (formule de König-Huygens).