Série temporelle

Alexique
Alexique
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
on se donne $(\epsilon_t)_{t \in \mathbb{Z}}$ des va iid de loi $\mathcal{N}(0,1)$. Pour chaque processus, dire s'il est stationnaire, à tendance déterministe ou stochastique, ergodique et intégré d'ordre 1.
(1) $X_t=-0,5X_{t-1}+\epsilon_t$
(2) $W_t - 0,4t = -0,5(W_{t-1}-0,1(t-1))+\epsilon_t$
(3) $Y_t=a+Y_{t-1}+\epsilon_t$

Voilà mes doutes.
(1) Stationnaire d'espérance nulle donc est-ce à tendance déterministe ? On en peut en effet écrire $X_t=f(t)+Z_t$ avec $f$ fonction déterministe dépendant de $t$ et $Z$ un processus stationnaire. Simplement, $f$ est la fonction nulle qui ne dépend donc pas de $t$. Néanmoins, elle n'est pas aléatoire. Donc quelle conclusion ?
Stationnaire donc ergodique ?
Je sais qu'on différencie pour rendre un processus non stationnaire stationnaire. Comme il l'est déjà, je dirais que $\Delta X_t$ l'est aussi sans conviction.

(2) J'arrive à $W_t=at+b+Z_t$ avec $Z$ stationnaire donc pas stationnaire à tendance affine donc pas ergodique. Pour l'intégrité à l'ordre 1,
$\Delta W_t = a+ \Delta Z_t$ mais je ne sais pas si $\Delta Z_t$ est stationnaire...

(3) pas stationnaire, tendance stochastique (racine unitaire du polynôme) et intégré d'ordre 1... Pas de soucis mais je veux bien confirmation.

Voilà, c'est un peu flou globalement, je voudrais surtout des éclaircissements... Merci.

Réponses

  • Alexique
    Alexique
    C'est si compliqué que ça les séries pour que personne ne réponde ? Ou cette partie du forum est moins fréquentée que les autres, j'en ai peur... 8-)
  • P.
    P.
    'Stationnaire, à tendance déterministe ou stochastique, ergodique et intégré d'ordre 1. '

    Peux-tu donner les définitions ? Certains pourront peut-être répondre.
  • Alexique
    Alexique
    Entendu.

    On dit que $(X_t)_t$ est stationnaire si $(\mathbb{E}(X_t)_t$ est constante, $(var(X_t))_t$ aussi et $cov(X_t,X_{t+h})$ ne dépend pas de $t$ pour tout $h$.
    On note $L$ l'opérateur retard de telle sorte que $L^i X_t = X_{t-i}$. On dit que $(X_t)_t$ est intégré d'ordre 1 si le processus $(1-L)X_t$ ie $X_t-X_{t-1}$ est stationnaire.
    On dit que le processus a une tendance déterministe s'il existe $f$ une fonction du temps et $(Z_t)_t$ un processus stationnaire tel que $X_t=f(t)+Z_t$ pour tout $t$.
    Enfin, on dit que $(X_t)_t$ est ergodique s'il est stationnaire et si $\frac{1}{n} \sum_{t=1}^n X_t$ tend vers $\mathbb{E}{X_0}$.

    Voilà, en fait, certaines définitions ne sont pas clairement formulées comme ça dans mon cours donc j'extrapole peut-être, c'est pour ça que j'aurais voulu des éclaircissements. Je ne peux pas non plus refaire tout le cours. J'ai par exemple des propriétés sur les racines des polynômes de la partie autorégressive et de la partie moyenne mobile qui permettent de conclure sur la stationnarité.

    J'ai trouvé ceci, si cela vous aide... Je ne comprends pas la différence entre être stochastique et intégré d'ordre 1...
  • P.
    P.
    Pour le premier processus defini par $X_t=-\frac{1}{2}X_{t-1}+\epsilon _t$ alors par recurrence $$X_t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}\epsilon_{t-n}$$ est de moyenne nulle et de variance $4/3.$ Si $t-s=k>0$ alors $\mathbb{E}(X_tX_s)=\frac{4}{3\times 2^{k}}$ et donc $X$ est stationnaire de densite spectrale calculee par la formule du noyau de Poisson $\sum_{k\in\mathbb{Z}}r^{|k|}e^{ik\theta}=\frac{1-r^2}{1-2r\cos \theta+r^2}$ appliquee a $r=1/2$, ce qui donne
    $$\sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac{4e^{ik\theta}}{3\times 2^{|k|}}=\frac{4}{5-\cos \theta)}$$ (mais ces calculs sont a verifier). Encore, sauf erreur de ma part non experte, comme la mesure spectrale n'a pas d'atomes le processus est ergodique (ca doit etre du cours).



    Le second processus $W_t-\frac{2}{5}t=-\frac{1}{2}W_{t-1}+\frac{1}{20}(t-1)+\epsilon_t$ est un trompe couillon car il est de la forme $ W_t=X_t+at+b$ et je te laisse trouver $a$ et $b$
  • Alexique
    Alexique
    (1) ok, merci. Je n'ai jamais entendu parler d'atomes ou de mesure spectrale... Est-il intégré d'ordre 1 et que dire pour la tendance ? Elle est nulle donc ne dépend pas de $t$... Est-ce qu'il n'y a pas de tendance ou est-elle déterministe nulle ?

    (2) Oui, j'ai bien vu cela, je l'ai mis dans mon premier message. Mais est-il intégré d'ordre 1 ? Ergodique ?
  • P.
    P.
    A) Un processus gaussien stationnaire est a fortiori 'intègre d'ordre 1'.

    B) Tendance déterministe signifie qu'il existe une fonction $f$ NON constante telle que $X_t-f(t)$ est stationnaire.

    C) $W_t=X_t+at+b$ entraîne que $W_t-W_{t-1}= X_t-X_{t-1}+a$ est stationnaire non centré et donc avec ta définition $W$ est 'intègre d'ordre 1'.

    D) Pour expliquer ce qu'est la mesure spectrale d'un processus gaussien stationnaire ou un atome, il faudrait en savoir un peu plus sur ton niveau. Comme tu as amicalement coache O'Shine sur le forum, tu dois savoir ce qu'est une variable aléatoire réelle ou un espace de Hilbert ?
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