Éspérance loi géométrique autrement.

Notons $X_1, X_2 \dots$ iid de loi commune Bernoulli de paramètre $p$: $T$ te donne le rang du premier succès.

Au cours de l'expérience, deux situations se réalisent: soit tu as un succès (ce qui arrive avec probabilité $p$) auquel cas l'expérience se termine
et tu as eu besoin d'un tirage; soit tu as un échec (ce qui arrive avec probabilité $1 - p$) auquel cas l'expérience continue et tu as eu besoin de $ 1 + \mathbb{E}[T]$ tirage.

D'où $\mathbb{E}[T] = p \times 1 + (1 - p) \times (1 + \mathbb{E}[T])$

L'argument de conditionnement c'est le "ou bien".