Petite inclusion ensembliste

Code_Name · January 2021

Bonjour, je bloque sur quelque chose qui semble assez trivial...

Soient $A\subset \mathbb R,\; t,\epsilon\geq 0$.
Je n'arrive simplement pas à montrer que pour la mesure de Lebesgue, on a $$\lambda \big((A\cap [-t-\epsilon,t+\epsilon])\setminus (A\cap [-t,t])\big)\leq \lambda \big([-t-\epsilon,-t[\,\cup\,]t,t+\epsilon]\big)$$ En effet il me semble que $(A\cap [-t-\epsilon,t+\epsilon])\setminus (A\cap [-t,t])$ n'est pas inclus dans $[-t-\epsilon,-t[\cup]t,t+\epsilon]$...

Merci pour votre aide.

Thierry Poma · January 2021

Bonjour,

Remarquons immédiatement que $A\cap [-t,\,t]\subset[-t,\,t]$, de sorte que $[-t,\,t]^c\subset{}(A\cap [-t,\,t])^c=A^c\cup[-t,\,t]^c$. De même, remarquons que $A\cap [-t-\epsilon,\,t+\epsilon]\subset[-t-\epsilon,\,t+\epsilon]$. Enfin, me semble-t-il, si $U$ et $V$ sont des ensembles, alors $U\setminus{}V=U\cap{}V^c$.

Cordialement,

Thierry

Code_Name · January 2021

Bonjour et merci pour votre réponse Thierry. Je n'arrive cependant pas à conclure ni à comprendre l'utilité de votre indication que $[-t,\,t]^c\subset{}(A\cap [-t,\,t])^c=A^c\cup[-t,\,t]^c$.
En effet, si je note $C_1=[-t,\,t]$ et $C_2=[-t-\epsilon,\,t+\epsilon]$ alors on a juste que $$A\cap C_2\setminus A\cap C_1=A\cap C_2\cap (A\cap C_1)^c=A\cap C_2\cap (A^c\cup C_1^c)\subset C_2\cap (A^c\cup C_1^c)$$

Thierry Poma · January 2021

C'est oublier que\[A\cap C_2\cap (A^c\cup C_1^c)=(A\cap C_2\cap{}A^c)\cup(A\cap C_2\cap{}C_1^c)=\emptyset\cup{}(A\cap{} C_2\cap{}C_1^c)=A\cap{} C_2\setminus{}C_1\subset{}C_2\setminus{}C_1\]Non ? La difficulté de la théorie de la mesure réside essentiellement dans ce que l'on utilise abondamment les résultats de la théorie des ensembles.

Code_Name · January 2021

Je ne sais pas pourquoi je suis passé à côté de ca, merci beaucoup :-)

Petite inclusion ensembliste

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