Mesure de probabilité sur [0;1]

shinitchi
shinitchi
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous,
je souhaite illustrer le fait que si la probabilité d'un évènement vaut 0, cela veut dire qu'il ne se produit presque jamais mais qu'il peut quand même se produire : en considérant l'intervalle [0;1] je pioche un nombre aléatoire dedans. Je voudrais donc construire une mesure de proba qui me retourne $P(r)=0$ pour n'importe quelle valeur de $r \in [0;1]$.

1) Je ne vois pas comment définir ma mesure.
2) Une fois obtenue, si j'ai bien $P(r)=0$ pour tout $r \in [0;1]$, n'aurais-je pas $\sum\limits_{r\in[0;1]}P(r) = \sum\limits_{r \in[0;1]} 0 =0$ et non $1$ ce qui signifierait que ma mesure n'est pas une mesure de probabilité ?

Je ne maîtrise pas les sommes infinies et les problèmes de convergence qui vont avec. Ainsi, ai-je le droit de dire que ma somme infinie de $0$ vaut $0$ ? Les cours d'analyse sont très loin derrière moi.
Merci d'avance. Bien cordialement.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Je crois qu'il faudrait que tu commences par voir la définition d'une mesure de probabilité,et tout ce qui va avec (notamment la notion de tribu, la $\sigma$-additivité ...).
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ensuite, tu pourras voir la probabilité uniforme sur $[0,1]$, définie par $P([a,b])=b-a$ pour tout a et b tels que $0\le a\le b\le 1$. Je te laisse étudier les détails ...

    Cordialement.
  • shinitchi
    shinitchi
    Merci pour vos réponses.

    @GaBuZoMeu : j'ai naïvement pensé que ce serait relativement simple à expliquer mais je suis en train de revoir les définitions d'espaces mesurables / tribus et ce qui va avec que je ne maîtrise pas.

    @gerard0 : je regarderai après plus en détail la loi uniforme mais n'aurais-je pas le même problème : $P([a;a])=0$ et $\sum\limits_{a \in [0;1]} =0$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Tu devrais notamment regarder la notion de dénombrabilité, qui explique pourquoi il n'est pas contradictoire d'avoir à la fois $\mathbb P([0, 1]) = 1$ et $\sum_{r \in [0, 1])} \mathbb P(\{r\}) = 0$.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour S

    Peux-tu me donner la définition de la notation $\sum\limits_{a \in [0;1]}$ ? Je connais évidemment les sommes finies, et les sommes infinies dénombrables, généralement indicées par les entiers (séries). Je connais une autre notion, qui donne d'ailleurs ce résultats.
    Et autre question : Quel rapport entre cette somme et la théorie des probabilités ??

    Cordialement.
  • shinitchi
    shinitchi
    Désolé pour le temps de réponse, j'ai été assez occupé ces derniers jours.

    @ gerard0 : au temps pour moi, je voulais écrire $\sum\limits_{a \in [0;1]} P(a) =0$
    mais est-ce que je saurais définir proprement cette somme ? Eh bien nan, si ce n'est : pour chaque élément de l'intervalle, j'ajoute sa probabilité (pas terrible). J'ai un problème de dénombrabilité puisque [0;1] ne l'est pas. J'ai mal interprété la propriété de $\sigma$-additivité d'une mesure de probabilité puisqu'on doit avoir une collection dénombrable d'ensembles disjoints. Au temps pour moi.

    Merci en tout cas pour vos messages.
  • Chalk
    Chalk
    Pour info shinitchi , une somme de termes positifs, potentiellement indexée par une famille non dénombrable, est définie comme la borne supérieure des sommes sur toutes les sous-familles finies.

    Pour une somme de termes de signes quelconques, on considère la somme des termes positifs uniquement, et celle des termes négatifs uniquement, et si les deux sont finies au sens de la définition ci-dessus on définit la somme de tous les termes comme la somme des deux sommes précédentes.

    Je te laisse voir pourquoi ça revient à la définition usuelle dans le cas des séries (sommes dénombrables) absolument convergentes.

    C'est ce qu'on appelle la convergence en vrac, ou les familles sommables, selon les auteurs.
  • shinitchi
    shinitchi
    @ Chalk : merci pour ces informations. Je n'ai pas souvenir d'en avoir entendu parler pendant mes études qui me semblent tellement loin. Je regarderai cela plus en détails après avoir repris une partie de la théorie des probabilités...
  • gerard0
    gerard0
    Tu trouveras des informations sur ce qu'explique Chalk, sous le nom de "familles sommables".

    Cordialement.
  • shinitchi
    shinitchi
    merci pour la précision gerard0 en effet, je vois davantage de pages sur ce sujet (sur google) qu'en tapant convergence en vrac.
    Bien à vous
  • Chalk
    Chalk
    Convergence en vrac c'est pour Godement, mais il traite ce sujet mieux que bien d'autres auteurs ...

    Dernière précision, on peut démontrer assez facilement qu'une famille sommable a un nombre de termes non nuls au plus dénombrable.
  • gerard0
    gerard0
    Au passage,

    la famille des $P(a)$ pour $a\in [0,1]$ est sommable, de somme 0. Ce qui justifie l'écriture $\sum\limits_{a \in [0;1]} P(a) =0$. Par contre, cette somme n'a rien à voir avec $P([0;1])$.

    Cordialement.
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