Mesure de probabilité sur [0;1]
Bonjour à tous,
je souhaite illustrer le fait que si la probabilité d'un évènement vaut 0, cela veut dire qu'il ne se produit presque jamais mais qu'il peut quand même se produire : en considérant l'intervalle [0;1] je pioche un nombre aléatoire dedans. Je voudrais donc construire une mesure de proba qui me retourne $P(r)=0$ pour n'importe quelle valeur de $r \in [0;1]$.
1) Je ne vois pas comment définir ma mesure.
2) Une fois obtenue, si j'ai bien $P(r)=0$ pour tout $r \in [0;1]$, n'aurais-je pas $\sum\limits_{r\in[0;1]}P(r) = \sum\limits_{r \in[0;1]} 0 =0$ et non $1$ ce qui signifierait que ma mesure n'est pas une mesure de probabilité ?
Je ne maîtrise pas les sommes infinies et les problèmes de convergence qui vont avec. Ainsi, ai-je le droit de dire que ma somme infinie de $0$ vaut $0$ ? Les cours d'analyse sont très loin derrière moi.
Merci d'avance. Bien cordialement.
je souhaite illustrer le fait que si la probabilité d'un évènement vaut 0, cela veut dire qu'il ne se produit presque jamais mais qu'il peut quand même se produire : en considérant l'intervalle [0;1] je pioche un nombre aléatoire dedans. Je voudrais donc construire une mesure de proba qui me retourne $P(r)=0$ pour n'importe quelle valeur de $r \in [0;1]$.
1) Je ne vois pas comment définir ma mesure.
2) Une fois obtenue, si j'ai bien $P(r)=0$ pour tout $r \in [0;1]$, n'aurais-je pas $\sum\limits_{r\in[0;1]}P(r) = \sum\limits_{r \in[0;1]} 0 =0$ et non $1$ ce qui signifierait que ma mesure n'est pas une mesure de probabilité ?
Je ne maîtrise pas les sommes infinies et les problèmes de convergence qui vont avec. Ainsi, ai-je le droit de dire que ma somme infinie de $0$ vaut $0$ ? Les cours d'analyse sont très loin derrière moi.
Merci d'avance. Bien cordialement.
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Réponses
Je crois qu'il faudrait que tu commences par voir la définition d'une mesure de probabilité,et tout ce qui va avec (notamment la notion de tribu, la $\sigma$-additivité ...).
Ensuite, tu pourras voir la probabilité uniforme sur $[0,1]$, définie par $P([a,b])=b-a$ pour tout a et b tels que $0\le a\le b\le 1$. Je te laisse étudier les détails ...
Cordialement.
@GaBuZoMeu : j'ai naïvement pensé que ce serait relativement simple à expliquer mais je suis en train de revoir les définitions d'espaces mesurables / tribus et ce qui va avec que je ne maîtrise pas.
@gerard0 : je regarderai après plus en détail la loi uniforme mais n'aurais-je pas le même problème : $P([a;a])=0$ et $\sum\limits_{a \in [0;1]} =0$ ?
Peux-tu me donner la définition de la notation $\sum\limits_{a \in [0;1]}$ ? Je connais évidemment les sommes finies, et les sommes infinies dénombrables, généralement indicées par les entiers (séries). Je connais une autre notion, qui donne d'ailleurs ce résultats.
Et autre question : Quel rapport entre cette somme et la théorie des probabilités ??
Cordialement.
@ gerard0 : au temps pour moi, je voulais écrire $\sum\limits_{a \in [0;1]} P(a) =0$
mais est-ce que je saurais définir proprement cette somme ? Eh bien nan, si ce n'est : pour chaque élément de l'intervalle, j'ajoute sa probabilité (pas terrible). J'ai un problème de dénombrabilité puisque [0;1] ne l'est pas. J'ai mal interprété la propriété de $\sigma$-additivité d'une mesure de probabilité puisqu'on doit avoir une collection dénombrable d'ensembles disjoints. Au temps pour moi.
Merci en tout cas pour vos messages.
Pour une somme de termes de signes quelconques, on considère la somme des termes positifs uniquement, et celle des termes négatifs uniquement, et si les deux sont finies au sens de la définition ci-dessus on définit la somme de tous les termes comme la somme des deux sommes précédentes.
Je te laisse voir pourquoi ça revient à la définition usuelle dans le cas des séries (sommes dénombrables) absolument convergentes.
C'est ce qu'on appelle la convergence en vrac, ou les familles sommables, selon les auteurs.
Cordialement.
Bien à vous
Dernière précision, on peut démontrer assez facilement qu'une famille sommable a un nombre de termes non nuls au plus dénombrable.
la famille des $P(a)$ pour $a\in [0,1]$ est sommable, de somme 0. Ce qui justifie l'écriture $\sum\limits_{a \in [0;1]} P(a) =0$. Par contre, cette somme n'a rien à voir avec $P([0;1])$.
Cordialement.