Loi uniforme

Marie_Paris · January 2021

Bonjour,

Je n’arrive pas à démontrer la loi suivante qui paraît pourtant simple

Soit X et Y sont deux variables i.i.d de loi U([0,1])
Trouver la loi de Z où Z=Y-X ?

Merci de votre aide

gerard0 · January 2021

Bonjour.

Tu as sans doute la méthode pour la loi de la somme (produit de convolution des densités), il te suffit de faire Z=X+(-Y), la loi de -Y étant connue ici.

Cordialement

Marie_Paris · January 2021

Existe-t-il une autre méthode sans passer par convolution ?

Dom · January 2021

Travailler à la main (ce qui revient à retrouver le produit de convolution).
M’enfin je n’ai aucune idée révolutionnaire.

Marie_Paris · January 2021

En fait, j’ai trouvé cette solution, mais je ne comprends pas comment on trouve la densité, D’où viennent ces inégalités avec le z ?
Merci 115776

gerard0 · January 2021

Bonjour.

Il s'agit de l'application de la formule générale au cas particulier de deux lois uniformes. Si tu as des cours de probas sur le sujet (et que tu connais le produit de convolution) il te suffit de comprendre ce et de faire la même chose avec X et-Y.
Dans ce cas, si tu as besoin d'explication, dis où tu bloques.

Cordialement

rebellin · January 2021

Tu peux raisonner géométriquement, mais ce n'est pas aussi rigoureux : dire que $X$ et $Y$ sont indépendantes et suivent la loi uniforme sur $\left[0;1\right]$ revient à dire que $(X,Y)$ est un point choisi au hasard dans le carré unité (cf ci-dessous). Donc $P(X-Y\leq t)=P(Y\geq X-t)$ est l'aire de la zone hachurée (ci-dessous on a pris l'exemple $t=0,4$). Il faut ensuite distinguer deux situations en fonction de la valeur de $-1\leq t\leq 1$ (s'il est positif, on calcule l'aire d'un trapèze ; s'il est négatif, l'aire d'un triangle). 115818

Loi uniforme

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