Démonstration sur espaces mesurés
J'ai beaucoup travaillé sur ce problème par rapport aux espaces mesurés ces dernières semaines mais je n'ai rien réussi. Voici le problème:
Soit $(X, \mathcal{M}, \mu)$ un espace mesuré tel que $\mu(X)=1$. Supposons que $T:X\rightarrow X$ est mesurable et $\mu(T^{-1}(E))=\mu(E)$ pour tout $E\in\mathcal{M}$. Prouver que:
(1) Pour tout $E\in\mathcal{M}$ tel que $\mu(E)>0$ il existe un naturel $n$ de sorte que $\mu(E\cap T^n(E))>0$. Ici, $T^0$ est l'application identité dans $X$ et $T^n=T\circ T^{n-1}$ pour $n\ge1$.
(2) Pour tout ensemble $E$, l'ensemble des points pour lequel il existe un naturel $n_0$ de sorte que $T^n(x)\notin E$ pour tout $n\ge n_0$ a 0 comme mesure.
Merci !
Soit $(X, \mathcal{M}, \mu)$ un espace mesuré tel que $\mu(X)=1$. Supposons que $T:X\rightarrow X$ est mesurable et $\mu(T^{-1}(E))=\mu(E)$ pour tout $E\in\mathcal{M}$. Prouver que:
(1) Pour tout $E\in\mathcal{M}$ tel que $\mu(E)>0$ il existe un naturel $n$ de sorte que $\mu(E\cap T^n(E))>0$. Ici, $T^0$ est l'application identité dans $X$ et $T^n=T\circ T^{n-1}$ pour $n\ge1$.
(2) Pour tout ensemble $E$, l'ensemble des points pour lequel il existe un naturel $n_0$ de sorte que $T^n(x)\notin E$ pour tout $n\ge n_0$ a 0 comme mesure.
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Réponses
Qu'est-ce que tu as essayé ?
Pour la première question un raisonnement pas l'absurde devrait marcher.
Moi, j'ai pensé au théorème de récurrence de Poincaré. Je crois que le deuxième point fait référence à ce théorème.
Pour le premier point, il ressemble au théorème de récurrence multiple mais je ne suis pas sûr que je sache le prouver.
Prends $E$ un ensemble mesurable de mesure strictement positive, tu peux commencer par démontrer qu'il existe deux entiers naturels $k_1<k_2$ tels que $\mu (T^{-k_1}(E) \cap T^{-k_2}(E)) >0$ (c'est là qu'on peut faire une démonstration par l'absurde). Tu en déduis ensuite l'existence d'un entier naturel $k$ tel que $\mu(E\cap T^{-k}(E))>0$ et tu conclus.
Edit : j'ai modifié mon indication qui, comme l'a fait remarqué Raoul, n'avait pas vraiment de sens.
C'est moi qui raconte, encore, des bêtises. Je vais modifier ça.