Variance nulle, rédaction

Ta question 1 n'a pas vraiment de réponse, une variable aléatoire réelle, c'est essentiellement la même chose qu'une mesure de probabilité sur $\mathbb R$, et il y en a tout un tas... Tu peux regarder du côté de la décomposition de Lebesgue pour avoir une idée de ce que l'on peut dire de général sur de telles mesures.

Oui, une variable aléatoire (réelle) sur $\Omega$, c'est une fonction mesurable de $\Omega \to \mathbb R$. Ici, $\Omega$ est un espace muni d'une tribu dont on tait le nom en général et d'une mesure de probabilité $\mathbb P$, de sorte que la notation $\mathbb P(X \in A)$ a tout à fait un sens quand $A$ est borélien, c'est $\mathbb P(X^{-1}(A))$.

Il me semble qu'il va te falloir potasser un peu de théorie de la mesure et d'intégration de Lebesgue, qui est vraiment à la base de la théorie moderne des probabilités, au vu de tes questionnements. Pour ta question sur la variance, ça devient immédiat avec le bon langage : on a $\int_{\Omega} (X-\mathbb E(X))^2 \,\mathrm{d}\mathbb P = 0$ donc $X-\mathbb E(X)=0$ $\mathbb P$-presque partout par positivité de l'intégrande.

Honnêtement, $X(\omega)$, ça ne veut pas dire grand-chose en probas.
L'idée, en probas, c'est justement de partir d'un univers $\Omega$, qu'on ne connaît pas autrement que par ses variables aléatoires $X:\Omega\to\R$.
Pour ta question, c'est l'inégalité de Bienaymé-Chebychev, mais comme c'est un corollaire de celle de Markov, il vaut mieux parler de ça.
Pour $Y\ge 0$, on a : $E[Y] \ge P(Y \ge 1)$, donc si $Y$ est d'espérance nulle, $Y$ est majorée par 1 presque-sûrement. On peut remplacer $Y$ par $1000 \times Y$, et on apprend de même que $Y$ est majorée par $\frac{1}{1000}$.
On voit ainsi que l'événement $[Y \le 0]$ est une réunion dénombrable d'événements impossibles, donc impossible aussi, donc $Y=0$ presque-sûrement.
Pour le coup de la variance, c'est ce que donne ce raisonnement avec $Y = \big(X - E[X]\big)^2$.

Je veux enfin me faire une idée claire de ce que $X$ veut dire.

C'est très simple : les variables aléatoires veulent tout dire, et les probabilités,que celles-ci donnent, notées "p", c'est tout ce qu'on en sait.

Pourriez-vous expliciter la fonction $X$ dans le cas d'une loi exponentielle ?

Bah non. Une variable aléatoire n'est pas une fonction. Une fonction est déterminée par la valeur dont on la nourrit, alors qu'une variable aléatoire est... aléatoire !
Par ailleurs, des variables aléatoires peuvent avoir la même loi(résultat au premier dé vs 2ème dé) tout en étant complèment différentes !

Puis je dire dans ce cas que $\mathbb{P}(A)=\int_A f_\lambda(t) \mathrm{d}t$ ?

Dans quel cas ? Désolé, j'ai pas compris, mais je te conseille de bien te recentrer sur la question où tu lances $1000$ fois à pile ou face, et tu regardes ce qu'il se passe.

Bah non : les variables aléatoires sont égales entre elles si elles donnent la même chose presque-sûrement.

Donc ce ne ne sont pas des fonctions, si ? C'est une affaire de quotient ?

Ce qui est important avec une variable aléatoire, c'est sa loi, pas la fonction sous-jacente.

Bah non, ce qui est important, ce sont les relations entre les trucs.

(indépendants ou pas, et si pas indépendants, comment pas indépendants !)

Ce qui est important avec une variable aléatoire, c'est sa loi, pas la fonction sous-jacente.

En fait, je crois qu'on est d'accord : ce qui est intéressant avec une variable aléatoire, c'est sa loi *conditionnellement à toutes les autres* et pas quoi ce ce soit d'autre.
Et la chose qu'on a dénoté par $\Omega$ n'a aucune espèce d'importance, pourvu qu'elle soit assez riche. En général, $\Omega = [0;1]$ convient/

La seule chose qui est vraiment importante dans $X:(\Omega,\mathcal A,P) \to \left ( \R, \mathcal B_{\R}\right )$ est la mesure image de $P$ par $X$ (dite "loi de $X$") autrement dit l'application qui a $A\in \mathcal B_{\R}$ fait correspondre $P \left (X^{-1} (A) \right )$.
$\Omega$, les probabilistes s'en fichent, il représente au mieux les "causes inconnues de ce qu'on observe". Cette présentation sert surtout à démontrer des théorèmes d'analyse.

@Marsup : s'il te plaît ne va pas écrire qu'une variable aléatoire "n'est pas une fonction", surtout pour des étudiants qui ne maîtrise pas bien tout cela.

Pour parler de variable aléatoire il faut avoir un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb {P})$ et un espace image muni d'une tribu $(I,\mathcal{I})$. Techniquement, une variable aléatoire sur $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb {P})$ à valeurs dans $(I,\mathcal{I})$ est une classe d'équivalence des fonctions mesurables
égales presque partout.

Mais d'un point de vue pédagogique / de compréhension il faut toujours voir une variable aléatoire comme une fonction de $\Omega$ dans $I$. En pratique, comme dit Foys, les probabiliste se contre-fiche généralement de qui est ce $\Omega$, et on s'intéresse uniquement à la mesure image de la variable aléatoire...

@Eldouwen : pour l'exemple du dé il faut distinguer les faces du dés de la valeur prise par la variable aléatoire.
Par exemple suppose que les faces du dé soit nommées par des lettres, alors $\Omega = \{A,B,C,D,E,F\}$
(en classe je dessine les points des faces, mais j'ai un peu la flemme).
La probabilité $\mathbb{P}$ est une mesure sur $\Omega$. Ici cela signifie que c'est une fonction des parties de $\Omega$ dans $[0,1]$ (vérifiant quelques propriétés d'additivités...) que l'on peut simplement décrire par $\mathbb{P}(O) = card(O)/6$, où $O \subset \Omega$ dans le cas d'un dé équilibré.
Ta variable $X$ est une fonction de $\Omega$ dans $\{1,2,...,6\}$ définie par $X(A)=1$, $X(B)=2$ ..., $X(F)=6$.

L'expression $\mathbb{P}(X \in A)$ où $A \subset \mathbb{R}$ est une notation contractée de $\mathbb{P} (\{ \omega \in \Omega \; | \; X(\omega) \in A \})$.

En général on explicite $\Omega$ uniquement pour des variables aléatoires discrètes, et a peu près exclusivement à des fins pédagogiques. Dans l'immense majorité des usages probabilistes il reste un espace abstrait.

Pour terminer sur les remarques techniques qui font que $X$ n'est pas une fonction mais une classe d'équivalence,
[ à lire dans un second temps - il s'agit uniquement de difficulté technique pour être rigoureux]
cela signifie juste que si on avait considéré que $\Omega = \{A,B,C,D,E,F,T\}$ où $T$ représente le fait de tomber sur la tranche, en déclarant que la probabilité de tomber sur la tranche est nulle. Alors toutes les fonctions $X :\Omega \to \mathbb{R}$ qui coïncident sur $ \{A,B,C,D,E,F\}$ correspondent à la même variable aléatoire. En clair : $X$ se fiche de la valeur que tu lui fait prendre sur l'évènement $T$ qui est de probabilité nulle. C'est une difficulté technique, car on ne peut pas proprement employer l'expression $X(\omega)$...

@Poirot : effectivement il y a un conflit de notation dans mon message :-?

@eldouwen : je confirme $X(A)$ a un sens (1 dans mon exemple). $P(X \in \{1,2,5\})$ a un sens, c'est la mesure de l'ensemble des $\omega$ tel que $X(\omega)$ soit dans $\{1,2,5\}$.

aléa a écrit:

Généralement, on considère que les variables aléatoires sont des fonctions, pas des classes.

Edit : effectivement, en retournant voir dans mes livres de références je réalise que le terme variable aléatoire
est d'abord donné pour les fonctions.
Ceci dit j'ai l'impression de toujours appeler variables aléatoires les éléments de $L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ par exemple...

On peut très bien poser $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ et prendre pour $X$ l'identité. Mais ça n'a aucune importance. On a posé $A,B,C,D,E,F$ à cause de ce message qui montrait que tu n'avais pas saisi que l'espace de départ et celui d'arrivée ne jouent pas du tout le même rôle.

Comme dit plus haut, $\Omega = [0, 1]$ muni de la mesure de Lebesgue est suffisant en pratique pour les résultats usuels vus en L3/M1.

L'aléatoire ça n'a pas de sens. On t'a donné tous les outils au-dessus. C'est simplement quand on dit que $\mathbb P(X=1)=\frac{1}{6}$ que l'on introduit de l'aléa fictivement dans notre cerveau. Mais ça veut simplement dire que la mesure des $\omega$ tels que $X(\omega)=1$ vaut $\frac{1}{6}$.

eldouwen a écrit:

La valeur de X étant aléatoire par définition, comment définir X(R) ? Pourquoi dire que X(R)=1 ? Comment le sait-on ? Que représente R ? Quelque chose de concret ou quelque chose d'aléatoire ?

La question n'est pas très bonne. Il y a deux point de vue sur une question de proba : le point de vue "pratique" et le point de vue "théorique".

Le point de vue pratique c'est : "je joue au poker, on m'a distribué 5 cartes au hasard, 5 à mon adversaire, quelle est la probabilité, connaissant mes cartes, que ma main soit meilleure que la sienne ?". C'est à dire que tu t'imagines une situation, avec une question (plus ou moins) précise.
Pour attaquer cette question tu utilises un formalisme mathématique en introduisant un Omega, des variables aléatoires...

Le point de vue théorique c'est : "soit $\Omega$, soit $X:\Omega \to R$ suivant une loi normale centré reduite, que vaut $P(X > 1)$ ?". Dans ce cas X n'est pas "aléatoire", X est une fonction parfaitement définie, et la probabilité en question est une intégrale contre une mesure particulière.


Dans l'exemple du dé j'ai introduit {A,B,C,D,E,F} effectivement pour bien faire la distinction entre l'ensemble $\Omega$ qui est n'importe quoi et l'ensemble image {1,2,3,4,5,6} qui est ce qui nous intéresse.

Un autre exemple "pratique" : je lance 2 pièces équilibrées et je m'intéresse au nombre de face obtenu que je note $X$.
Un $\Omega$ naturel : {PP,PF,FP,FF}, munie de la mesure uniforme.
On a alors $X(PP)=0$, $X(PF)=X(FP)=1$ et $X(FF)=2$.
Tu aurais pu choisir $\Omega = {1,2,3}$, $X$ l'identité, et $P$ une mesure non uniforme,
ou $\Omega = {0,1,2,3}$, une mesure uniforme et $X(0)=0$, $X(1)=X(2)=1$, $X(3)=0$,
ou $\Omega = [0,1]$ avec le tribu de Lebesgue (ou une tribu plus grossière), et X constante par morceaux...
Les autres modélisations sont peut être moins naturelles / intuitive que la première.
Dans tous les cas la loi de $X$ (c'est à dire la mesure portée par l'image de $X$) est la même.

@elodouwen :
oui ton explication de $\Omega$, $X$ et $\mathbb{P}$ est presque un sans faute. Un petit détail : $\mathbb{P}$ est une mesure positive sur $\Omega$, c'est donc une application des sous-ensembles* de $\Omega$ et non des éléments de $\Omega$. En clair pour être parfaitement rigoureux il faudrait écrire $\mathbb{P}(\{PP\})=0.25$ plutôt que $\mathbb{P}(PP)$, tout comme on peut vouloir écrire $\mathbb{P}(\{PP,FF\})=0.5$.

Oublie l'histoire des classes d'équivalence. C'est une erreur de ma part. La plupart des cours / livres de références définissent une variable aléatoire comme une application (mesurable) de Omega. Le côté classe d'équivalence vient plus tard quand on passe de $\mathcal{L}^p$ à $L^p$ en continuant parfois d'utiliser le terme "variable aléatoire".

Cependant pour répondre à ta question.
Je pose $\Omega = \{P,F,T\}$ avec comme loi de probabilité $\mathbb{P}(P)=\mathbb{P}(F)=0.5$ et $\mathbb{P}(T)=0$.

Les variables aléatoires réelles définies sur $\Omega$ sont les fonctions de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$.
$X$ et $Y$ sont égales $\mathbb{P}$-presque sûrement si $X(P)=Y(P)$ et $X(F)=Y(F)$ (leur valeur en $T$
peut différer). On travaille souvent avec la classe d'équivalence des fonctions de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ par rapport à l'égalité presque partout (dès qu'on veut parler d'espérance conditionnelles, d'espace de Hilbert...).

(*) la mesure $\mathbb{P}$ n'est pas nécessairement défini sur tous les sous-ensemble de $\Omega$ mais seulement sur ceux dits "mesurables", c'est-à-dire qui sont des éléments de $\mathcal{F}$.
Quand $\mathcal{F}$ n'est pas précisé, c'est par défaut : l'ensemble des parties de $\Omega$ si ce dernier est fini, l'ensemble des boréliens ou des parties Lebesgue-mesurables, si $\Omega$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$. Si ces termes ne te disent rien mieux vaut laisser de côté pour le moment...

$\Omega$ ne peut pas "être étendu à l'infini". $\Omega$ est fixé une fois pour toutes en tout début d'énoncé / d'exercice / de chapitre...
Il n'est généralement pas explicité sauf pour des raisons pédagogiques (par pour des exemples simples avec des pièces / des dés).
Cela peut-être n'importe quel ensemble suffisamment gros.

Souvent en probabilité ce qui t'intéresse c'est la loi de la variable aléatoire. C'est à dire une mesure sur l'image de ta variable aléatoire,
et non la variable aléatoire au sens de fonction et son ensemble de départ.
Donc pour l'histoire du comptage du nombre de Face sur un lancer de pièce, tu peux choisir différents $\Omega$ pour représenter la même loi.
J'en ai donné quelques exemples plus haut (des ensembles dont les éléments sont humainement interprétable "PP", "PF" - avec ou sans la tranche- ou des ensemble sans interprétation directe, typiquement [0,1]).

Dans la suite je te détaille l'histoire des classes d'équivalence.

[je mets en italique les termes dont tu peux trouver la définition précise dans un cours bien fichu de probabilité / théorie de la mesure]

Donc, pour reprendre la construction, on se donne un ensemble $\Omega$ qui est l'univers des évènements possibles.
On se donne une collections de sous-ensembles de $\Omega$ qui forme une tribu noté $\mathcal{F}$. Les éléments de cette tribu sont ce que l'on appelle les sous-ensembles mesurables de $\Omega$, où encore les évènements.
On se donne une mesure de probabilité sur $(\Omega,\mathcal{F})$, c'est à dire une application de $\mathcal{F}$ dans $[0,1]$ qui vérifie certaines propriétés.

Une variable aléatoire réelle définie sur $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ est une fonction mesurable de $(\Omega,\mathcal{F})$ dans $\mathbb{R}$ munie de la tribu de Lebesgue. Je note l'ensemble de ces variables aléatoires $\mathcal{L}^0(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.

Soit $X$ et $X'$ deux éléments de $\mathcal{L}^0(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. On dit qu'elles sont égales $\mathbb{P}$-presque sûrement
si $\mathbb{P}(X=X') = \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega \; | \; X(\omega)=X'(\omega) ) = 1 $.
On note $X\sim X'$ ssi $X'$ et $X$ sont égales $\mathbb{P}$-presque sûrement.
$\sim$ est une relation d'équivalence sur $\mathcal{L}^0(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.
On note $L^0(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})=\mathcal{L}^0(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})/\sim$ l'ensemble des classes d'équivalences associées à cette relation.
[Par abus de langage il arrive (je le fais quotidiennement) de continuer d'appeler les éléments de $L^0(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ des variables aléatoires, ce qui a causé ma confusion dans les messages ci-dessus, repris par Aléa et Poirot]

On a en particulier besoin des ensemble de classe d'équivalence $L^p$ par opposition à $\mathcal{L}^p$ quand on veut parler de produit scalaire associé à l'espérance selon une mesure de probabilité. En effet $E[X^2] =0$ implique que $\mathbb{P}(X=0)=1$ seulement, et non que $X$ est identiquement nul. L'espérance conditionnelle pouvant être vue comme une projection orthogonale pour ce produit scalaire on la définiras également dans l'ensemble des classes d'équivalence, etc...

Est-ce plus clair ?

Donc par rapport à ma question, à $\Omega$ fixé, on peut définir les X comme des classes d'équivalence modulo la mesure.

Dans la majorité des livres / cours, les variables aléatoires sont définies comme des fonctions et non leurs classes d'équivalence.
Parfois on manipule des éléments de $L^p$ qui sont donc les classes d'équivalences et qu'on continue éventuellement, par "abus" d'appeler variables aléatoires.

Oui c'est bien ça, sauf que, pour $X:(\Omega,\mathbb{P}) \to (\R,\mathcal{L})$ il n'y a pas besoin de mesure de Lebesgue sur $\R$, seulement de tribu de Lebesgue.

La mesure de Lebesgue est quand même utile pour les variables à densité : $f_X = \frac{d\mathbb{P}_X}{d\mu}$.

D'ailleurs tu demandais au tout début si certaines variables aléatoires étaient autre chose que des mélanges "variable-discrète"/"variable à densité" la réponse est : "pas vraiment", mais au lieu de "discrète", il faut parler de variable "étrangère". Ce résultat est le Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue.

La loi transférée $\mathbb P_X = X_* \mathbb{P}$ est définie par $\mathbb P_X(F) = X_* \mathbb{P}(F) = \mathbb{P}(X^{-1}(F)) = \mathbb{P}(X\in F)$. (Je pense que c'est une grosse bêtise de noter seulement $\mathbb{P}(F)$, car tu oublies de parler de la seule chose intéressante : la variable aléatoire $X$ !!!)

Je me permets de remarquer que la façon dont $X$ transfère $\mathbb{P}$ par $\mathbb{P}_X$ ne dépend de $X$ qu'en dehors des événements de probabilité nulle. Plus généralement, personne ne pourra jamais rien savoir d'autre sur $X$ que $X$ modulo ces événements négligeables. Définir "variable aléatoire" sans tenir compte de ce fait, me semble un peu raté. D'ailleurs ton énoncé initial : Si $\text{var}(X) = 0$, alors $X = E[X]$ est faux en dehors de la bonne définition presque-sûre des variables aléatoires. Personne ne t'a corrigé, parce que tout le monde le sait, mais personne ne le dit, sous prétexte que les étudiants trouveraient ça compliqué :-(.

Enfin, tu as oublié de parler du roi des exemples d'univers : $\Omega = [0,1]$. Quand tu as une telle variable uniforme continue $U = \text{Id}_{\Omega\to[0,1]}$, tu peux fabriquer un schéma de Bernoulli (pile ou face mutuellement indépendants) infini en écrivant $U$ en base 2. Tu peux aussi fabriquer n'importe quelle loi continue $X = Q_X(U)$ en composant par $Q_X = F^{-1}_X$ croissante. (fonction quantile, bijection réciproque de la fonction de répartition.) À noter que dans cet univers, toute variable aléatoire $V$ est déterminée par cette variable uniforme $U$ comme $V = \varphi(U)$ ($\varphi$ pas spécialement croissante !). Aucune variable aléatoire définie sur $\Omega$ n'est indépendante de $U$ !

Petite remarque en passant, à toutes fins utiles (j'arrive après la bataille)

> Pouvez-vous me confirmer qu'on peut définir V(X) sans que X n'ait de densité ?

Cette question (ainsi que la question initiale du post) suggère que tu penses que les variables aléatoires constantes ont une densité, mais ce n'est pas le cas.

La distribution d'une variable aléatoire constante est une mesure de Dirac.

@Chalk : En français on emploie plutôt "loi" que "distribution".

@elodouwen : Les variables aléatoires à densité sont des cas très particuliers de variables aléatoires. Ce sont celles dont la loi (la mesure image si tu veux, c'est-à-dire la mesure $A \mapsto \mathbb P(X \in A)$, parfois notée simplement $\mathbb P_X$) est donnée par l'intégrale contre une fonction (densité). Les variables aléatoires constantes n'en font pas partie. Leurs lois sont effectivement des mesures de Dirac, mais ce ne sont pas des lois à densité car il n'y a pas de fonction positive d'intégrale $1$ sur $\mathbb R$ tell que pour tout borélien $A \subset \mathbb R$, $$\int_A f(x) \,\mathrm{d}x = \delta_a(A).$$