Variables aléatoires variance 1 décorrélées
Bonjour, comment peut-on trouver des variables aléatoires $X_1,...,X_n$ de variance $1$ qui soient décorrélées (c-à-d $Cov(X_i,X_j)=0$ si $i\neq j$)? Merci d'avance?
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Réponses
Les prendre indépendantes. Le fait qu'elles soient de variance 1 n'a rien à voir avec leur corrélation.
Cordialement.
gerard0. On peut les prendre indépendantes mais y a-t-il un exemple assez simple de ce que je demande ?
Juste un détail sur cette histoire d'indépendance qui n'est pas très claire encore. Pour ces variables de Bernoulli, pourquoi peut-on dire qu'elles sont indépendantes ? Est-ce parce que l'on peut montrer que pour tout $B_1,B_2$ boréliens, on a $\mathbb P(X\in B_1,Y\in B_2)=\mathbb P(X\in B_1)\mathbb P(Y\in B_2)$ ?
Mais inutile d'invoquer des choses aussi lourdes. Dans notre cas il suffit de considérer la variable aléatoire $X$ uniforme sur $\{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$. Alors ses deux projections $X_1$ et $X_2$ sont des variables de Bernoulli de paramètre $1/2$ indépendantes.
Si tu joues à pile ou face en jetant deux pièces plusieurs fois, est ce que ce qui sort sur une des pièces dépend de ce qui sort sur l'autre ?
Cordialement,
Rescassol
Je crois que la loi de Bernoulli est définie ainsi: Notre espace de probabilité $(\Omega, \mathcal A,\mathbb P)$ est définie par $\Omega=\{0,1\},\mathcal A=\mathcal P(\{0,1\}),\mathbb P(1)=p,\mathbb P(0)=1-p$ pour $p\in [0,1]$.
On pose ensuite notre nouvel espace de probabilité $(E,\mathcal E,\mathbb P_X)$ avec $E=\Omega, \mathcal E=\mathcal A$ et notre variable aléatoire $X(\omega)=\omega$ donc $(E,\mathcal E,\mathbb P_X)=(\Omega, \mathcal A,\mathbb P)$.
Je ne vois pas quelle autre variable aléatoire poser pour suivre cette même loi.
Tu peux alors vérifier que $X_1(\omega) = X_1(\omega_1, \omega_2) := \omega_1$ et $X_2(\omega) = X_2(\omega_1, \omega_2) := \omega_2$ sont de loi Bernoulli(1/2) indépendantes.
Tu décris bien une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p$, mais tu ne les définis pas toutes. Une bonne fois pour toute il faudrait que tu fasses la distinction entre une variable aléatoire et sa loi. Il y a pleins de variables aléatoires qui peuvent suivre la même loi, et heureusement.
Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé, et $X$ une variable aléatoire réelle.
$X$ est une loi de Bernoulli de paramètre $p$ ssi $\mathbb{P}(X=1) = p$ et $\mathbb{P}(X=0) = 1-p$.
Tu remarqueras qu'aucune hypothèse n'est faite sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$...
L'existence de variables aléatoires indépendantes n'est pas tout à fait triviale.
Par exemple si $\Omega = \{P,F\}$ tu ne pourras pas construire deux variables de Bernoulli
de paramètre $p \in ]0,1[$ qui soient indépendantes.
Avec $\Omega = [0,1]$ et la tribu Borelienne on peut construire explicitement une suite de va de Bernoulli i.i.d,
a partir de la décomposition en nombre dyadique d'un réel voir, par exemple, th II.13 p32.
Et un petit exercice pour te faire des noeuds au cerveau : soit $X_1$ et $X_2$ deux Bernoulli de paramètre $0.5$ indépendantes.
Soit $X_3 = 1_{X_1 = X_2}$.
a) Montrer que $X_3$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $0.5$.
b) Montrer que $X_3$ et $X_1$ sont indépendantes, et que $X_3$ et $X_2$ sont indépendantes.
c) Est-ce que $X_1,X_2$ et $X_3$ forment une suite de variables aléatoires indépendantes ?