Jeu de cartes
Bonsoir, j'aimerais bénéficier de votre aide à travers cet exercice.
Voici comment je raisonne. Déjà, l'expérience ne dit pas si on tient compte de l'ordre ou pas mais les questions elles, nous aident à savoir si l'ordre compte. Ainsi je raisonne en supposant que j'ai tenu compte de l'ordre.
1- Considérons $C$ comme l'ensemble des 32 cartes du jeu.
On considère que l'expérience aléatoire consiste à tirer successivement et sans remise (en tenant compte de l'ordre) 18 cartes parmi un jeu de 32 cartes.
Alors $ \Omega=\{(a_{1},\ldots,a_{18}) \in C^{18} , a_{i} \neq a_{j} \} $, et $Card(\Omega)=A_{32}^{18}$.
On munit $\Omega$ de la probabilité uniforme $\mathbb{P}$ définie par :
Pour tout $\omega \in \Omega, \mathbb{P({w})}=\frac{1}{Card(\Omega)}$.
Ainsi pour tout $A \in P(\Omega),\ \mathbb{P(A)}=\frac{card(A)}{card(\Omega)}$
2- Posons B=la première carte est un as et la 15ème carte est un Roi.
Dire que la première carte est un as et la 15ème carte est un Roi, signifie qu'on obtient aucune carte d'as et de Roi parmi les autres cartes formant les 18 cartes.
Il y a 4 façons d'obtenir comme première carte un as et il y a 4 façons d'obtenir comme 15ème carte un Roi.
et pour le reste des cartes constituant les 18 cartes, on a $A_{24}^{16}$ façons de les former, d'où $card(B)=4*4*A_{24}^{16}$
On obtient alors $\mathbb{P(B)}=\frac{4*4*A_{24}^{16}}{A_{32}^{18}}$
3- Posons D=obtenir au moins un As parmi les 18 cartes tirées.
Considérons l'événement contraire E=n'obtenir aucun As parmi les 18 cartes tirées.
On a $card(E)=A_{28}^{18}$ et donc $\mathbb{P(E)}=\frac{A_{28}^{18}}{A_{32}^{18}}$
On en déduit alors que $\mathbb{P(D)}=1-\mathbb{P(E)}$
4- Posons F=obtenir 4 As successivement.
Pour obtenir 4 As successifs, il y a $(18-3)=15$ positions possibles pour le premier As tiré. En effet, la première carte et la dernière carte doivent être distants de 3 places càd séparés par les 2 autres As, puis 4! manières de permuter les As entre eux (dans les 4 positions successives) et enfin $A_{28}^{14}$ manières de placer, dans les 14 positions restantes, 14 autres cartes prises parmi les 28 restantes.
Ainsi $card(F)=15*4!*A_{28}^{14}$.
On a $\mathbb{P(F)}=\frac{15*4!*A_{28}^{14}}{A_{32}^{18}}$.
5- Pouvez-vous me donner une indication ici svp ?
Voici comment je raisonne. Déjà, l'expérience ne dit pas si on tient compte de l'ordre ou pas mais les questions elles, nous aident à savoir si l'ordre compte. Ainsi je raisonne en supposant que j'ai tenu compte de l'ordre.
1- Considérons $C$ comme l'ensemble des 32 cartes du jeu.
On considère que l'expérience aléatoire consiste à tirer successivement et sans remise (en tenant compte de l'ordre) 18 cartes parmi un jeu de 32 cartes.
Alors $ \Omega=\{(a_{1},\ldots,a_{18}) \in C^{18} , a_{i} \neq a_{j} \} $, et $Card(\Omega)=A_{32}^{18}$.
On munit $\Omega$ de la probabilité uniforme $\mathbb{P}$ définie par :
Pour tout $\omega \in \Omega, \mathbb{P({w})}=\frac{1}{Card(\Omega)}$.
Ainsi pour tout $A \in P(\Omega),\ \mathbb{P(A)}=\frac{card(A)}{card(\Omega)}$
2- Posons B=la première carte est un as et la 15ème carte est un Roi.
Dire que la première carte est un as et la 15ème carte est un Roi, signifie qu'on obtient aucune carte d'as et de Roi parmi les autres cartes formant les 18 cartes.
Il y a 4 façons d'obtenir comme première carte un as et il y a 4 façons d'obtenir comme 15ème carte un Roi.
et pour le reste des cartes constituant les 18 cartes, on a $A_{24}^{16}$ façons de les former, d'où $card(B)=4*4*A_{24}^{16}$
On obtient alors $\mathbb{P(B)}=\frac{4*4*A_{24}^{16}}{A_{32}^{18}}$
3- Posons D=obtenir au moins un As parmi les 18 cartes tirées.
Considérons l'événement contraire E=n'obtenir aucun As parmi les 18 cartes tirées.
On a $card(E)=A_{28}^{18}$ et donc $\mathbb{P(E)}=\frac{A_{28}^{18}}{A_{32}^{18}}$
On en déduit alors que $\mathbb{P(D)}=1-\mathbb{P(E)}$
4- Posons F=obtenir 4 As successivement.
Pour obtenir 4 As successifs, il y a $(18-3)=15$ positions possibles pour le premier As tiré. En effet, la première carte et la dernière carte doivent être distants de 3 places càd séparés par les 2 autres As, puis 4! manières de permuter les As entre eux (dans les 4 positions successives) et enfin $A_{28}^{14}$ manières de placer, dans les 14 positions restantes, 14 autres cartes prises parmi les 28 restantes.
Ainsi $card(F)=15*4!*A_{28}^{14}$.
On a $\mathbb{P(F)}=\frac{15*4!*A_{28}^{14}}{A_{32}^{18}}$.
5- Pouvez-vous me donner une indication ici svp ?
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Réponses
on doit avoir une 5 cartes qui se suivent numériquement et forment une suite:
Les configurations possibles de ces 5 cartes sont:
Il revient d'abord de rappeler que dans le jeu de 32 cartes, on ne dispose pas des cartes 2 à 6
Ainsi, on a :
- 7,8,9,10,valet $(*)$
-8,9,10,valet,dame $(**)$
-9,10,valet,dame,roi $(***)$
-10,valet,dame,roi,As. $(****)$
-- Schnoebelen, Philippe
Si la première carte est un As , il y a $4$ possibilités
et comme la quinzième est un Roi, cela signifie que le roi n'apparait pas entre la 2ème carte et la 14ème carte.
Donc on aura $A_{27}^{13}$ façons de choisir les cartes entre la 2ème carte et la 14ème carte. Puis pour la quinzième carte, on aura $4$ manières de choisir un Roi, et pour le choix des 3 autres, puisqu'il reste $17$ cartes, on aura $A_{17}^{3}$ façons de les choisir.
-- Schnoebelen, Philippe
Regardons tous les tirages où la 1ère carte est l'as de pique.
Il y en a combien.
Parmi tous ces tirages, on regarde la carte qui est sur la case n°15 Cette carte peut être n'importe quelle carte à part l'as de pique bien sûr. Et les 31 possibilités sont équiprobables. Donc ... ... Sur tous les tirages qui commencent avec l'as de pique combien ont un roi en position 15.
Et on recommence avec l'as de coeur, de carreau ...
-Avant la 15ème carte, il y a possibilité que les 3 Roi soient parmi les cartes des positions 2 à 14 et dans ce cas il n'y a qu'une seule façons d'avoir Roi à la quinzième place.
-Avant la 15ème place, on ne dispose pas de Roi entre les positions 2 à 14.
Avec vos explications, voici ce que je fais:
La première carte est un As: on a 4 possibilités
il nous reste 31 cartes (selon le choix de l'As en question)
La 15ème carte est un Roi: on a 4 possibilités
il nous reste 30 cartes (Selon le choix du Roi en question)
Il reste donc à remplir 16 places parmi les 18 places de départ.
On aura donc $A_{30}^{16}$ façons de remplir ces 16 cartes avec le reste des cartes.
Ainsi on aura au total: $4*4*A_{30}^{16}$ façons d'obtenir un as en première position et un Roi en 15ème position.
Ne serait-ce que pour vérifier que le nombre obtenu est bien entre 0 et 1.
Et aussi pour vérifier si l'ordre de grandeur est réaliste. Si tu obtiens 0.9, c'est suspect, il doit y avoir une erreur quelque part.
Je trouve que $\mathbb{P(B)}=\frac{1}{62}=0.0161$
En effet, $\mathbb{P(B)}=\frac{4^230!14!}{32!14!}$
J'ai déjà donné les différentes configurations possibles un peu en haut dans mes raisonnements.
Demain je vais mettre ce qui me vient à l’esprit
On a dessiné 18 cases numérotées de 1 a 18.
On tire 18 cartes d'un jeu de 32 cartes, et on les poses faces cachées sur ces 18 cases.
Puis on retourne les cartes sur les n° 1 et 15. On ne regarde pas les autres cartes.
En fait, simplifions tout ça. On tire 2 cartes, on les met sur les cases n°1 et n°15 . Comme on ne regarde même pas les 16 autres, autant les laisser dans le jeu !
On tire 2 cartes, quelle est la probabilité que la 1ère soit un as et la 2ème soit un roi.
Proba de tirer d'abord un as : 4/32
Il reste 31 cartes. Proba de tirer 1 roi : 4/31
Résultat final : 4/32*4/31 =1/62.
Ok, on retrouve bien la même chose.
Pour la question 5, ce que tu avais écrit dans ton premier message est un bon début. Il y a 4 types de suites possibles.
On va calculer la probabilité de sortir une suite 10 V D R As, et on multipliera le résultat obtenu par 4
Et comme pour la question 2, comme on ne regarde que les 5 premières cartes, je me moque des 13 dernières cartes.
Je tire 5 cartes (et pas 18), et quelle est la probabilité que ces 5 cartes forment une suite.
Et pour commencer , on l'a dit, quelle est la probabilité que ces 5 cartes forment une suite 10 V D R As ?
On a 20 cartes favorables pour la 1ère carte (n'importe quelle carte entre 10 et As), 16 pour la 2ème , 12 pour la 3ème, 8 pour la 4ème et 4 pour la 5ème.
Il y a donc 20*16*12*8*4 tirages qui vont donner une suite 10 V D R As.
Et donc 4*20*16*12*8*4 tirages qui vont donner une suite.
L'univers, combien de tirages possibles : 32*31*30*29*28
Proba = (4*20*16*12*8*4)/(32*31*30*29*28)
Puis As de Coeur
Puis 10 de Carreau
Puis Dame de Carreau
Puis Valet de Carreau,
On a à l'arrivée une suite.
On n'exige pas que les cartes arrivent dans l'ordre, on veut juste, à la fin du tirage de 5 cartes, avoir un 10, un Valet, une Dame, un Roi et un As.
C'est mon interprétation de l'énoncé. Mais si le type qui a rédigé l'exercice avait autre chose en tête, je pense qu'il faut qu'il change de métier
Dans ta réponse, tu peux dire :
Voici comment j'interprète l'énoncé ..... et donner le calcul correspondant.
Puis dire qu'il y a ambiguité, et qu'on peut éventellement interpréter de telle autre façon ... ... et tu donnes le calcul correspondant à la 2ème interprétation.
Oui tu as raison, on n'attend pas qu'il est un ordre "numérique" concernant la valeur des cartes.
je me place dans le cas que tu as choisi. On veut avoir un 10,V,D,R, et le reste des cartes. on a 4 possibilités pour le 10, V,D et R et le choix des 13 autres cartes se fait parmi les cartes 27 restantes. on n'oublie pas qu'on peut permuter les 5 cartes du début, donc 5! façons de les permuter.
Ainsi le nombre de possibilités d'obtenir cette suite est $5!*4^5*A_{27}^{13}$.
Sachant qu'il y a 4 configurations possibles (il s'agit de la façon d'obtenir nos suites), le nombre de façons que les 5 premières cartes forment une suite comme au poker est $5!*4^6*A_{27}^{13}$.
Alors
$\mathbb{P(G)}=\frac{5!*4^6*A_{27}^{13}}{A_{32}^{18}}=\frac{128}{6293}=0.020$.
On trouve la même probabilité.
-- Schnoebelen, Philippe