Martingale

RBRQNY · February 2021

Je voulais savoir pour une martingale, la chose suivante est une équivalence ou non (c’est sûrement trivial mais je n’y avais jamais pensé avant).

Une martingale a toujours une espérance constante donc E[Xn]=E[X0]
Cela équivaut à dire que Xn=X0 p.s ?
Donc l’égalité L1 implique-t-elle l’égalité p.s ?

lourrran · February 2021

Dans un jeu à espérance nulle (E[Xi]= 0 pour tout i), alors E[Xn] = E[X0] = 0.
Si l'espérance est non nulle, alors ça ne marche plus.
Je lance un dé à 6 faces, et je gagne 10 fois ma mise si le 6 sort, sinon je perds ma mise.
L'espérance est positive, elle est proportionnelle à ma mise, mais elle n'est pas constante, puisqu'elle dépend de la mise.
Et que l'idée derrière une martingale, c'est justement de faire fluctuer la mise.

Pour le cas de l'espérance nulle, le théorème de Doob peut t'intéresser.

aléa · February 2021

Ca serait quand même ballot si la théorie des martingales était celle de l'étude des suites constantes.

RBRQNY · February 2021

Ah d’accord merci, je me disais bien qu’un tel raccourci ne pouvait pas exister !

marsup · February 2021

Un exemple de martingale, c'est de lancer à pile où face avec probas, $p,q$, où $p+q=1$.

Je gagne $q$ euros si c'est pile, et je perds $p$ euros si c'est face. (marche de Bernoulli, en version centrée)

Alors mon gain $X_n$ après $n$ lancers donne une martingale $(X_n)_{n\in\N}$.

Martingale

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