Comment gérer une probabilité incalculable ?

ceroxon · February 2021

Bonjour.
Je me demandais comment on calcule la probabilité d'un évènement qui semble impossible.

Un exemple extrême. Imaginons que je sois décapité dans un terrible accident. Quelles sont mes chances de continuer à vivre une fois la tête séparée de mon corps ?

A priori elles sont faibles pas nulles car on peut toujours trouver une raison pour expliquer ma survie (une mutation spontanée des cellules par exemple). Cette possibilité, qui relève de la pure science fiction, n'est pas nulle quoique improbable.

Sauf que voilà, on peut trouver une infinité d'autres raisons pour que je survive (intervention divine, magicien passant par là, anomalie temporelle etc.). La plupart de ces raisons seront pour le moins farfelues mais aucune ne sera "impossible".

Or s'il y a une infinité de raisons pour que je survive, il doit bien y en avoir une dans le tas qui soit la bonne non ? Donc je devrais forcément survivre.

Mais les probabilités disent qu'une fois décapité je mourrai. Comment les probabilités peuvent elle dire ça quand on peut leur opposer une infinité de raisons qui disent qu'elles ont tort ?

2°) Sur un tout autre sujet, je repensais à une phrase de film "tu as plus de chance de faire retomber 10 fois de suite une pièce sur le côté pile que de parvenir à tes fins".
Ce à quoi le gars avait répondu "donc si je fais suffisamment de tentatives, je parviendrais forcément à mes fins" ?
Vu le contexte, manifestement il avait tort.

D'après mes calculs, les chances de faire tomber une pièce 10 fois de suite sur pile sont de 1/1024. Ok, mais de fil en aiguille je me suis posé d'autres questions.

Si je lance une pièce en l'air et qu'elle retombe à plat, les chances qu'elle retombe sur pile sont théoriquement de 1 sur 2. Qu'elle retombe plus de deux fois de suite sur pile sont de 1/4 puis 1/8, 1/16 etc.

Mais que se passe-t-il quand on doit faire ça en série ?

Je jette la pièce en voulant obtenir pile 2 fois de suite.
1/(1x2x2). Chance de réussite = 1/4
Mais je fais 4 séries de lancer.
1/(1x2x2)
1/(1x2x2)
1/(1x2x2)
1/(1x2x2)
Quelles sont mes chances de réussir au moins une série ? Sur 4 tentatives, je devrais y arriver, mais ce n'est pas sûr à 100%. J'ai fait des calculs mais le résultat me semble faux. Comment faites-vous le calcul pour estimer mes chances de réussir au moins une série ?

gerard0 · February 2021

Bonjour.

1) Dans ce que tu expliques, pas de probabilités. Et même rien à voir avec les maths. Le fait "de continuer à vivre une fois la tête séparée de mson corps" relève de la biologie. Éventuellement, on pourra le raccorder aux statistiques si tu as suffisamment de cas de gens qui ont continué à vivre une fois la tête séparée de leur corps pour en parler.
2) Pour la pièce, on a le modèle probabiliste "égalité des probabilités de pile et de face". Si tu jettes ta pièce en espérant faire 2 pile de suite sur une série de 4 lancers, il pourrait arriver que tu n'y arrives jamais (probabilité très faible qu'en jouant toute ta vie ça n'arrive pas). Si cela t'intéresse vraiment, prends le temps d'apprendre les probas élémentaires et les méthodes de dénombrement pour calculer toi-même. Et tu trouveras alors que la probabilité d'obtenir au moins 2 pile de suite dans une succession de 4 lancers n'est pas 1/4 mais 7/16, presque le double.

Cordialement.

ceroxon · February 2021

Merci, mais j'ai du très mal poser ma question pour la pièce ou alors j'ai très mal compris la réponse.

Quelle sont les probabilités en jetant une pièce deux fois de suite, qu'elle retombe sur pile à chaque fois? J'ai calculé que les chances étaient de 1 sur 4 (on ne tient pas compte de la tranche). Erreur de ma part?

Maintenant ie je refais ces deux lancers, 4 fois. Autrement dit

1x2x2
1x2x2
1x2x2
1x2x2

ou si vous préférez

(1/2)^2
(1/2)^2
(1/2)^2
(1/2)^2

Quelles sont mes chances que au moins une de ces 4 séries réussisse?

gerard0 · February 2021

Ah, j'ai mal compris.

la probabilité d'avoir 2 piles en deux lancers est effectivement 1/4. Si tu refais ces deux lancers 4 fois, la probabilité qu'au moins une fois tu aies réussi est $1-\left(\frac 3 4\right)^4 \approx 0,6836$ probabilité contraire de "rater les 4 fois".
On apprend tout ça en probas élémentaires. Tu es collégien ou lycéen ? Tu apprendras à faire ces exercices de débutant.

Cordialement.

ceroxon · February 2021

J'étais lycéen il y a 20 ans et j'ai eu 2,5 sur 20 en math le jour du bac économique (et d'ailleurs je n'ai pas eu le bac). Je ne suis même pas sûr d'avoir jamais fait ce genre de calcul. Je me souviens des système des histoires d'axe des abscisse et d'axe des ordonnées...

[Il n'y a pas d'apostrophe entre "y" et "a" : "y a". AD]

gerard0 · February 2021

Ok.

Mais alors, pourquoi t'intéresses-tu à ces questions de technique de probabilité ? Si c'est pour savoir faire, étudie un cours de probas. 2,5/20 au bac ou pas, les probas élémentaires se font avec les calculs du collège, le reste, c'est de la réflexion. Et si tu as une autre raison, il serait bon de t'expliquer, on n'est pas ici dans ce que dit ton titre.

ceroxon · February 2021

C'est la première question qui m'intéressais vraiment, la seconde était subsidiaire car je n'y croyais pas vraiment, mais la réponse m'a interloqué. Je voulais juste être sûr d'avoir bien compris.

Et effectivement il y avait une erreur.

Donc, si je jette une pièce en l'air et que je cherche à obtenir pile deux fois de suite j'ai 1-(3/4) puissance n, chance de réussir ?

Si par exemple je fais le lancer 14 fois, mes chances de réussite sont de environ 1-(3/4) puissance 14, soit environ 98,21% de chance de réussite ?

C'est le bon calcul ? Mince, moi qui croyait avoir découvert la martingale ultime pour gagner à coup sûr au casino. Moi qui croyait avoir réussi en 3 semaines là où les meilleurs statisticiens et ordinateurs du monde échouent depuis des lustres. Je suis déçu.

En fait non puisque dès le début ça me semblait trop gros pour être vrai. Je voulais juste comprendre où était mon erreur. Merci de m'avoir éclairé.

En fait, j'ai envie d'essayer une soirée casino quand le confinement sera fini. Pour une fois dans ma vie. Je sais bien que toutes stratégies mises en places appelée "martingales" finissent inévitablement par vous claquer dans les doigts en mangeant tout ce que vous avez gagné avant et un peu (beaucoup) plus.

Simplement quitte à aller au casino j'aime autant jouer en sachant ce que je fais plutôt que d'y aller complètement au petit bonheur la chance.

[Il n'y a pas d'apostrophe entre "y" et "a" : "y a". AD]

gerard0 · February 2021

"Donc, si je jette une pièce en l'air et que je cherche à obtenir pile deux fois de suite j'ai 1-(3/4) puissance n, chance de réussir?"
Tu devrais te relire ! Si tu jettes une seule pièce, comment obtenir 2 piles ????? Et 1-(3/4) puissance n est une probabilité, pas une chance.
Il faut être précis, si on veut parler sérieusement de probabilités. Relis vraiment ce que j'ai décrit comme expérience.

PetitLutinMalicieux · February 2021

Bonjour

ceroxon a écrit:

Si par exemple je fais le lancer 14 fois, mes chances de réussite sont de environ 1-(3/4) puissance 14, soit environ 98,21% de chance de réussite ?

Non. Ton 1/4 vient déjà du fait que tu as mis 1/2 au carré. Si tu répètes ton lancer de pièce de monnaie 14 fois, tu es dans un schéma de Bernoulli. La probabilité de réussir k fois en 14 lancers est :
$C^k_{14} \left( \frac 1 2 \right)^{k}\left( \frac 1 2 \right)^{14-k}=C^k_{14} \left( \frac 1 2 \right)^{14}$

Donc si tu veux 14 piles en 14 lancers, la probabilité est de $2^{-14}$.

ceroxon · February 2021

Non, je veux dire 14 SERIES de 2 lancers, pas 14 lancers. Mes excuses. Je veux une seule fois deux pile qui se suivent sur 14 séries distinctes de deux lancers, sachant que chaque fois que la pièce retombe sur face, je passe à la série suivante. Excusez moi si je m'embrouilles j'ai pas l'habitude d'écrire des en logique mathématique.

1x2x2
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gerard0 · February 2021

Précisons l'expérience : Si tu obtiens 2 piles, tu t'arrêtes ? Ou bien tu continues, et tu ne veux plus jamais obtenir 2 piles ?

lourrran · February 2021

Avec 14 séries de 2 piles, ... c'est un peu galère. On a potentiellement 28 lancers, et donc 27 façons de placer 2 piles consécutifs.

Commençons par un cas plus simple. J'ai 2 pièces, je les lance toutes les 2.. Autant de fois que nécessaire. Je m'arrête au bout de 14 lancers, ou je m'arrête quand mes 2 pièces tombent sur pile.
Probabilité d'avoir 14 fois un échec ( échec = au moins une des 2 pièces n'a pas donné pile) : (3/4)^14 = 0.0178
Proba d'avoir au moins une fois pile+pile : 1-0.0178=0.9822

Pour la question initiale, tu peux bâtir un arbre comme celui-ci.

Chaque trait montant symbolise Pile, les traits descendants correspondent à Face.
Et quand j'ai 2 traits montants consécutifs, inutile de dessiner la suite de cette branche.

Il y a forcément une formule générale, mais c'est plus 'pédagogique' si tu la trouves par toi-même , avec cette technique.

PetitLutinMalicieux · February 2021

ceroxon a écrit:

Non, je veux dire 14 SERIES de 2 lancers, pas 14 lancers. Je veux une seule fois deux pile qui se suivent sur 14 séries distinctes de deux lancers,

Parfait. Tu es toujours dans un schéma de Bernoulli mais la victoire unitaire est de 1/4 et l'échec unitaire est de 3/4. La probabilité de réussir k doublés pile-pile est :
$C_{14}^k\left(\frac 1 4 \right)^k\left(\frac 3 4 \right)^{14-k}$

Donc, comme k=1 :
$\frac 7 2\left(\frac 3 4 \right)^{13}$

Il reste à régler la question de gerard0. veux-tu "un pile-pile" (cf ci-dessus) ou "au moins un pile-pile" (à calculer) ?

zeitnot · February 2021

Mais les probabilités disent qu'une fois décapité je mourrai

Je n'ai jamais entendu une probabilité dire une chose pareille ! ;-) Par contre, j'ai dû entendre un prof de biologie le dire.

Sinon, ce message m'a fait penser à l'histoire vraie de Mike le poulet sans tête. On est pile dans la thématique.

PetitLutinMalicieux · February 2021

Il faut bien discerner 2 mots : probabilités et fréquences.
Avant l'expérience aléatoire, on parle de probabilité.
Après l'expérience aléatoire, on parle de fréquence.
Et les fréquences des expériences passées servent de probabilités des expériences futures.

Ton pile-ou-face peut tomber sur la tranche, ton corps peut survivre sans tête (surtout dans tes rêves), un magicien peut passer par là... mais cela arrive si peu souvent que les cas sont négligés pour un calcul de probabilité d'évènement futur.
Personne ne dit que c'est impossible. On dit que ce serait surprenant.

Comment gérer une probabilité incalculable ?

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