Étrange paradoxe
Bonsoir à tous,
je dispose de 3 boules que je dispose de façon "équiprobable" dans 5 urnes. J'aimerais déterminer la probabilité que chaque urne contienne au plus une boule.
Bonne soirée.
F.
je dispose de 3 boules que je dispose de façon "équiprobable" dans 5 urnes. J'aimerais déterminer la probabilité que chaque urne contienne au plus une boule.
- Si je considère que l'ensemble des résultats possibles est l'ensemble des suites d'entiers $(a_1,\cdots,a_5)$ telle que $a_1+\cdots+a_5=3$. J'obtiens 35 résultats possibles, parmi ceux ci 10 correspondent à l'évènement étudié. Cela me donne donc une probabilité de $\frac{2}{7}$.
- Si je considère que l'ensemble des résultats possibles est l'ensemble des applications de $\{1,\cdots,3\}$ dans $\{1,\cdots,5\}$. J'ai alors $125$ éléments. L'évènement étudié correspond alors aux injections, qui sont au nombre de 60, ce qui donne une probabilité de $\frac{12}{25}$.
Bonne soirée.
F.
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Réponses
Dans les deux cas, tu n'expliques pas le lien entre ton explication et la phrase "je dispose de 3 boules que je dispose de façon "équiprobable" dans 5 urnes". Donc aucune des deux méthodes n'est convaincante. A toi de dire ce que veut dire équiprobable et d'en déduire une preuve correcte.
Cordialement.
Du coup, c'est amusant car suivant la façon de modéliser une "répartition possible", on obtient deux résultats différents...
A+
F.
en fait, tu t'es trompé dans le deuxième cas, ce ne sont pas des répartitions. Toujours l'absence de lien entre l'énoncé et le raisonnement.
1 --> 5
2 --> 2
3 --> 2
est une répartition, pas une application.
l'exemple que tu donnes est bien une application de l'ensemble des boules $\{1,2,3\}$ dans l'ensemble des urnes $\{1,2,3,4,5\}$. Elle n'est pas injective car les boules 2 et 3 sont affectées à la même urne.
Bonne soirée
F.
Nouvelle réflexion ! C'est bien ce que tu disais : " la première approche traduit mal l'équiprobabilité". Prenons le cas où tu as comme somme 0+0+1+1+1. Il ne s'agit pas d'un placement équiprobable, puisqu'on ne distingue pas les différents placements des boules : Placer la première boule dans l'urne 3 et la deuxième dans l'urne 4 n'est pas distingué de placer la première boule dans l'urne 4 et la deuxième dans l'urne 3.
En distinguant les placement, on tombe bien sur les 125 cas et les 60 cas favorables.
Désolé, j'ai été lent sur ce cas !
Une autre façon de voir les choses est que, dans le second cas, toutes les boules sont colorées, alors que, dans le premier cas, toutes les boules sont blanches.
Je propose :
1) on tire un dé à cinq faces, on met une boule dans la boîte correspondant au dé.
2) idem
3) idem
N’est-ce pas cela qui colle à l’énoncé ?
Question : quelle méthode empirique (jet d’un dé...) mènerait à l’autre expérience ?
la première méthode correspond à des boules indiscernables (au sens quantique du terme). Donc difficile à réaliser en pratique.
Encore une façon de voir. Mettons les pieds dans le plat.
La première expérience est archétypal d'une combinaison avec répétition. $\Gamma_5^3=C^3_{5+3-1}=C^3_7=\frac{7.6.5}{6}=35$
La seconde expérience est archétypal d'une p-liste. $5^3=125$
Dom, ta question revient à demander l'expérience symbolique de la combinaison avec répétition.
Or,
répétition et ordre = p-liste
répétition sans ordre = combinaison avec répétition
Voilà pourquoi on comprend instantanément qu'il faut ajouter ou supprimer l'ordre pour passer d'une expérience à l'autre. Une façon simple de faire cela est de supprimer ou ajouter le discernement des boules.
En résumé :
- On sélectionne 3 lettres de l'alphabet, c'est une combinaison. $C^3_{26}$
- On cherche un podium des lettres de l'alphabet, c'est un arrangement. $A^3_{26}$
- On écrit un mot de 3 lettres, c'est une p-liste. $26^3$
- On fabrique un sac de 3 lettres, c'est une combinaison avec répétition. $\Gamma^3_{26}$
Le scrabble propose d'ailleurs des sacs différents en fonction de la langue. Combien y a-t-il de sacs de 102 lettres ? $\Gamma^{102}_{27}$. À cause du "blanc" ajouté.Si on continue à creuser la question, on va trouver du pétrole.