Temps d'arrêt

Il y a quand même une stratégie qui s'applique assez souvent : pour montrer qu'un temps d'arrêt $\tau$ est fini p.s. on cherche une variable aléatoire simple (géométrique, exponentielle,...) $T$ telle que
$$
\mathbb{P}(\tau \leq T)=1.
$$
Dans les chaînes de Markov cela arrive souvent. Par exemple je joue à pile ou face des pièces $X_1,X_2,...$ et j'étudie la première fois où on obtient trois résultats successifs identiques :
$$
\tau =\min\{k,\ X_k=X_{k+1}=X_{k+2}\}.
$$
Et bien on a
$$
\tau \leq \min\{j,\ X_{3j}=X_{3j+1}=X_{3j+2}=\text{ Pile }\}
$$
et c'est très facile de montrer que la variable de droite est finie (en gros c'est une géométrique).

Ah oui zut j'ai mal indicé mon machin.

Je ne sais pas si la méthode de Lucas s'adapte de manière facile, mais il me semble que pour ce cas précis on s'en sort facilement en utilisant $\limsup_{t\rightarrow+\infty} W_t=+\infty$ p.s. donc $T(a)$ est fini p.s., puis le "reflection principle" (principe de réflexion?) pour calculer la loi de $T(a)$.