Permutation aléatoire uniformément distribuée

Code_Name · March 2021

$\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}$Bonjour, soit un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ et $\pi_n$ une permutation aléatoire sur $\S_n$, c-à-d une variable aléatoire sur l'espace $(\S_n,\mathcal P(\S_n))$.
Supposons que l'on montre que $\pi_n$ soit uniformément distribuée sur $\S_n$, c-à-d $\mathbb P(\pi_n=\tau)=\mathbb P(\pi_n=\sigma),\ \forall \tau,\sigma \in \S_n$.
Alors pourquoi a-t-on que $\mathbb P(\pi_n=\sigma)=\mathbb P_{\text{unif}(n)}(\{\sigma\})$ où $\mathbb P_{\text{unif}(n)}$ est la loi uniforme sur $(\S_n,\mathcal P(\S_n))$ ?
Merci.

Chalk · March 2021

Soient $x_1,...,x_p$ $p$ réels (entre $0$ et $1$ mais ça n'interviendra pas) tels que $x_1 + ... + x_p = 1$.

On suppose que $x_i=x_j$ pour tout $i,j$. Pourquoi a-t-on $x_i = 1/p$ pour tout $i$ ?

Calli · March 2021

Bonjour,
C'est un peu tautologique comme question :-S. Si $\pi_n$ est uniforme, alors $\pi_n$ est uniforme.

Chalk · March 2021

Oui mais il a donné un sens différent à uniformément distribué que le sens habituel.

C'est mal formulé mais il y a un intérêt à démontrer l'équivalence (intérêt est un mot peut-être fort, c'est complètement trivial mais bon ...).

Code_Name · March 2021

Effectivement Chalk ca marche merci! :-)

Calli: Je ne sais pas, peut être que la remarque de Chalk est une tautologie évidente mais je n'y avais pas pensé sur le coup (:P)

Code_Name · March 2021

Bonjour Chalk j'aurais une autre petite question.
On sait que $\mathbb P(\pi_n=\sigma)=\mathbb P_{\text{unif}(n)}(\{\sigma\})$, que peut-on dire que $\mathbb P(\{\pi_n=\sigma\}\cap \{\pi_n=\tau\})$? Est-ce simplement $\mathbb P_{\text{unif}(n)}(\{\sigma\}\cap \{\tau\})$?

Plus particulièrement, soient $A_i\in \mathcal A$ et $B_i\in \mathcal P(S_n)$ tels que $\mathbb P(A_i)=\mathbb P_{\text{unif}(n)}(B_i)\; \forall i$.
Est-ce que alors $\mathbb P(A_1\cap \dots\cap A_s)=\mathbb P_{\text{unif}(n)}(B_1\cap \dots\cap B_s)$?
Merci.

Chalk · March 2021

À nouveau, tu es beaucoup trop la tête dans le guidon, comme si le fait que ce soit une permutation change quoi que ce soit.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{1,...,p\}$. Que vaut $\mathbb P(X = i \cap X = j)$ ? Indice : ça vaut $0$ ou $...$, selon deux cas à distinguer.

Chalk · March 2021

Et sinon, pour n'importe quelle variable aléatoire $X$, $\mathbb P(X\in A \cap X\in

= \mathbb P(X \in A\cap

= \mathbb P_X(A\cap

$. Première égalité par trivialité ensembliste, deuxième par définition de la loi de $X$.

Ensuite, si tu sais que $\mathbb P_X$ est égale à une mesure connue, uniforme ou autre, tu peux remplacer partout $\mathbb P_X$ par cette mesure, c'est le principe de l'égalité en maths. Si $a=b$ tu peux remplacer $a$ par $b$ partout où $a$ apparaît.

Maintenant cela dit, ceci est faux : $\mathbb P(A_1\cap \dots\cap A_s)=\mathbb P_{\text{unif}(n)}(B_1\cap \dots\cap B_s)$.
Les probabilités individuelles sont égales, cela ne veut pas dire qu'en s'intersectant les probabilités restent égales. Les événements $A_i$ pourraient être indépendants et pas les $B_i$. Mais là tu commences à tout mélanger, cela n'a plus rien à voir avec tes autres questions. Donc quand tu dis "Plus particulièrement" ça n'a vraiment aucun rapport. Tu as juste supposé que les $B_i$ avaient même proba que les $A_i$ sous une mesure différente, ça n'avance à rien pour leur intersection.

Code_Name · March 2021

Merci pour votre réponse Chalk, concernant votre premier message si $i\neq j$ alors ca vaut $0$ mais sinon ca dépend de notre loi? Si on a une loi uniforme ca devrait juste être $1/p$ non?