Démonstration loi forte des grands nombres L2

Hello,
j'ai trouvé dans mon cours une preuve de la LFGN dans le cas $L^2$ remarquablement simple. ::o Je vais la rédiger ici parce que je trouve ça trop simple pour être vrai.

1 ) Si $(Z_n)_n$ est une suite de variables aléatoires de carré sommable, si $\sum_n \mathbf{E} [ Z_n^2 ] < +\infty $, alors $(Z_n)_n $ converge $\mathbf{P} $ p.s. vers $0$

Preuve. $A = ( \limsup_n Z_n^2 > 0 ) = \bigcup_k \big( \limsup_n Z_n^2 > \frac{1}{k} \big) $
Or, $ \big( \limsup_n Z_n^2 > \frac{1}{k} \big) = \bigcap_n \bigcup_{m \geq n} \big( Z_m^2 > \frac{1}{k} \big) $ et $\mathbf{P} \big( Z_m^2 > \frac{1}{k} \big) \leq k^2 \mathbf{E} \big[ Z_m^2 \big] $ et comme la série de terme général $ \mathbf{E} \big[ Z_m^2 \big] $ est sommable le lemme de Borel-Cantelli nous assure que $\mathbf{P} \big( \limsup_n Z_n^2 > \frac{1}{k} \big) = 0 $, donc comme $A$ est une union dénombrable d'ensembles de mesure nulle, $\mathbf{P} ( A ) = 0 $ donc $ \mathbf{P} \big( \limsup_n Z_n^2 = 0 \big) = 1$.

2 ) Soit $(X_n)_n$ une suite de variables aléatoires i.i.d de moyenne nulle de carré intégrable. On pose $s = \mathbf{E} [ X_1^2] $. On pose $S_n = X_1 + \cdots +X_n $ et $V_n = \frac{S_n}{n} $. Et bien $ \mathbf{E} [ S_n^2 ] = n \cdot s $ donc $\mathbf{E} [ V_n^2 ] = \frac{s}{n} $ et donc on en déduit que la suite $ \left( V_{n^2} \right)_n $ vérifie la propriété du lemme 1) donc cette suite converge vers $0$ presque sûrement.

3 ) Soit $p_n = \big[ \sqrt(n) \big] $ ($\big[ \cdot \big] $ est la partie entière). Comme $ \big( V_{n^2} \big)_n $ converge vers $0$ presque sûrement, alors comme $(p_n)_n$ est croissante et bien $ ( V_{p_n^2} )_n $ converge presque sûrement vers $0$.

Jusque là on a montré que $\frac{S_{p_n^2} }{p_n^2 } $ converge $\mathbf{P} $ presque sûrement vers $0$
4 ) On prend $n \geq 4 $, par l'encadrement $ \sqrt{n} - 1 \leq p_n \leq \sqrt{n} \leq p_n + 1 \leq \sqrt{n} + 1 $ alors $n - 2 \sqrt{n} + 1 \leq p_n^2 \leq n $ et $ | p_n^2 - n | \leq 3 \sqrt{n} $ [ en gros avec $n \geq 5$ on se débarasse du pénible $+1$ pour ne garder que une constante fois $\sqrt{n}$, je préfere manipuler $3 \sqrt{n} $ au lieu de $2 \sqrt{n} + 1$. ^^
Ainsi,
$ B_n = \left| \frac{S_n}{ n } - \frac{S_{p_n^2} }{ n } \right| $, par l'encadrement précédent, $ \mathbf{E} \big[ \big( S_n - S_{p_n^2} \big)^2 \big] = \mathbf{E} \big[ (X_1 + \cdots+ X_{n - p_n^2} ) ^2 \big] = (n - p_n^2) s \leq 3 \sqrt{n} \cdot s $ donc $\mathbf{E} [ B_n^2 ] \leq 3 \sqrt(n) \cdot s / n^2 = 3 \cdot s \cdot n^{-3/2} $ qui converge par le critère de Riemann, donc par le lemme 1 alors $B_n$ converge vers $0$.

5 ) Comme $ \left| \frac{S_{p_n^2} }{ n } \right| \leq \left| \frac{S_{p_n^2}}{p_n^2} \right| $ alors cette quantité tend vers $0$ presque sûrement
Comme $\frac{S_n}{n} = \Big( \frac{S_n}{n} - \frac{S_{p_n^2} }{n} \Big) + \Big( \frac{S_{p_n^2 } }{n} - \frac{S_{p_n^2} }{p_n^2 } \Big) + \frac{S_{p_n^2} }{p_n^2 } $ qui tend donc vers $0$ presque sûrement.

Évidemment le point névralgique c'est le lemme de Borel Cantelli et le lemme 1). Je ne vois pas de faute de raisonnement dans cette preuve. J'aimerais la transmettre à d'autres personnes mais j'aimerais m'assurer que cela marche.