Événements indépendants arrangés

Bonjour,
Soient $X_1,X_2,\dots$ des v.a. indépendantes ayant toutes la même loi.
Supposons que la fonction de répartition de cette loi soit continue.
Définissons $A_1:=\Omega$ et $A_k:=\{\max_{j<k}X_j<X_k\}$ pour $k\geq 2$.

1. Montrer que $X_i\neq X_j$ presque sûrement $\forall i\neq j$.
   En déduire que pour chaque $n\in \mathbb N^*$, il existe presque sûrement une permutation aléatoire $\pi_n$ de $\{1,\dots ,n\}$ telle que $X_{\pi_n(1)}<X_{\pi_n(2)}<\dots <X_{\pi_n(n)}$.
   Montrer que $\pi_n$ est uniforméement distribuée sur $\mathfrak S_n$.
2. Montrer que $\mathbb P(A_k)=\frac{1}{k}$ et $A_1,A_2,\dots$ sont indépendants.

Je bloque pour la deuxième partie de cette question. Je vous mets en pièce jointe le corrigé, avec en encadré rouge là où il y a à mon avis déjà un problème.

En effet, dans cette deuxième partie on commence d'abord par chercher $\mathbb P(A_k)$. On a
$$\begin{align*}
A_k &=\{\max_{j<k}X_j<X_k\} \\
&=\{\omega\in \Omega:\max_{j<k}X_j(\omega)<X_k(\omega)\} \\
&=\{\omega\in \Omega:X_j(\omega)<X_k(\omega)\quad \forall j<k\} \\
&=\{\omega\in \Omega: X_{\pi_k(\omega)(1)}(\omega)<X_{\pi_k(\omega)(2)}(\omega)<\dots <X_{\pi_k(\omega)(k-1)}(\omega)<X_{\pi_k(\omega)(k)}(\omega)\quad \text{pour }\pi_k\text{ perm-aleatoire de }S_k\text{ t.q. }\pi_k(\omega)(k)=k\} \\
&=\{X_{\pi_k(1)}<\dots <X_{\pi_k(k-1)}<X_{\pi_k(k)},\; \pi_k\in S_k,\; \pi_k(k)=k\} \\
&= \{\pi_k\in B_k\},
\end{align*}
$$ où je définis moi $B_k:=\{\sigma\in S_k:X_{\sigma(1)}<\dots <X_{\sigma(k-1)}<X_{\sigma(k)},\; \sigma(k)=k\}$

Ici on a le fait que notre variable aléatoire $\pi_k$ est à valeurs dans un espace discret ($S_k$) et que par le point (i) $\pi_k$ est uniformément distribuée sur $\mathfrak S_k$, donc on a que $\mathbb P(\pi_k\in B_k)=\mathbb P_k(B_k)$ où $\mathbb P_k$ est la loi uniforme sur $(\mathfrak S_k,\mathcal P(\mathfrak S_k))$ (notation du corrigé).

En résumé on cherche juste la taille de $B_k$ mais on ne la connaît pas, et j'ai l'impression que mon corrigé fait une grossière erreur en considérant que $B_k$ correspond à $\mathfrak S_{k-1}$ tout entier !

Il y a aussi en plus de cela la partie encadrée en bleue que je ne comprends pas.
Merci pour votre aide.