L'existence d'une densité

Bonjour,
$p=m$ ?

Si $f$ est seulement supposée mesurable, ça m'a l'air très faux.

Si $U$ est uniforme sur $[0,1]$, on peut construire n'importe quoi comme $\phi(U)$.

Tu prends $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ des Bernoulli indépendantes et de moyenne $1/2$. Si
$$X=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{2^n}$$ et $(Y_1,Y_2)=f(X)$ défini par $$Y_1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_{2n-1}}{2^n},\qquad Y_2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_{2n}}{2^n},$$ alors $X,Y_1,Y_2$ sont uniformes sur $[0,1]$ et $Y_1,Y_2$ sont indépendantes. Tu as ton contre-exemple.