Truquer deux dés pour une somme équiprobable

Bonjour,
je cherche à montrer qu'on ne peut pas truquer deux dés à 6 faces numérotées de 1 à 6,
de manière à ce que la somme de leurs résultats (indépendants) soit une variable uniforme sur $[\![2,12]\!]$.

Je note $X$ et $Y$ les variables aléatoires des résultats obtenus sur chaque dé,
et $S=X+Y$.
On veut que $G_S(t)=Q(t)$, où :
$$Q(t)=\sum_{k=2}^{12}P(S=k)t^k=\frac1{11}(t^{12}+t^{11}+\cdots+t^2).
$$ Par indépendance, $G_S=G_X\times G_Y$.
On cherche donc une factorisation de $Q$ en un produit de deux polynômes de degré 6 à coefficients dans $[0,1]$.
Or :
$$Q(t)=\frac1{11}t^2\prod_{k=1}^5 (t^2-2\cos(2k\pi/11)t+1)
$$ et je peine à terminer pas trop laborieusement ma recherche d'une absurdité...
Quel est l'argument le plus simple ?
Merci !

Edit à cause d'une ambiguïté dans les notations...