Convergence d'une v.a. p.s.
Bonjour, soient $(X_n)_n$ une suite de v.a. et $X$ une v.a. telles $\forall \epsilon >0, \sum_{n\geq 1}\mathbb P(|X_n-X|>\epsilon)<\infty$.
J'aimerais montrer que $X_n$ converge presque sûrement vers $X$.
Soit $\omega\in \Omega$ tel que $X_n(\omega)$ ne converge pas vers $X(\omega)$.
En d'autres termes pour ce $\omega,\; \exists \epsilon_\omega>0$ tel que $\forall N>0,\exists n_N>N$ tel que $|X_{n_N}(\omega)-X(\omega)|>\epsilon_\omega$.
Notons pour $n\in \mathbb N$ et $\epsilon>0: A_n(\epsilon):=\{\tilde \omega:|X_n(\tilde \omega)-X(\tilde \omega)|>\epsilon\}$.
Par les notations précédentes, on a que $\omega\in A_{n_N}(\epsilon_\omega)\; \forall N>0$.
Donc $\{X_n\not\to X\}\subset \bigcup_{\substack{n\in \mathbb N^*\\ \epsilon >0}}A_n(\epsilon)$.
Donc $\mathbb P\left(\{X_n\not\to X\}\right)\leq \mathbb P\Big(\bigcup_{\substack{n\in \mathbb N^*\\ \epsilon >0}}A_n(\epsilon)\Big)\leq \sum_{n\geq 1}\mathbb P\left(\bigcup_{\epsilon>0}A_n(\epsilon) \right )$.
Après je ne vois pas... Merci pour votre aide.
J'aimerais montrer que $X_n$ converge presque sûrement vers $X$.
Soit $\omega\in \Omega$ tel que $X_n(\omega)$ ne converge pas vers $X(\omega)$.
En d'autres termes pour ce $\omega,\; \exists \epsilon_\omega>0$ tel que $\forall N>0,\exists n_N>N$ tel que $|X_{n_N}(\omega)-X(\omega)|>\epsilon_\omega$.
Notons pour $n\in \mathbb N$ et $\epsilon>0: A_n(\epsilon):=\{\tilde \omega:|X_n(\tilde \omega)-X(\tilde \omega)|>\epsilon\}$.
Par les notations précédentes, on a que $\omega\in A_{n_N}(\epsilon_\omega)\; \forall N>0$.
Donc $\{X_n\not\to X\}\subset \bigcup_{\substack{n\in \mathbb N^*\\ \epsilon >0}}A_n(\epsilon)$.
Donc $\mathbb P\left(\{X_n\not\to X\}\right)\leq \mathbb P\Big(\bigcup_{\substack{n\in \mathbb N^*\\ \epsilon >0}}A_n(\epsilon)\Big)\leq \sum_{n\geq 1}\mathbb P\left(\bigcup_{\epsilon>0}A_n(\epsilon) \right )$.
Après je ne vois pas... Merci pour votre aide.
Réponses
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Ta quantification sur $\varepsilon$ est non dénombrable, donc déjà tu ne risques pas d'en tirer grand-chose en théorie de la mesure. Ensuite ta réunion sur $n$ perd beaucoup d'information, tu oublies la quantification universelle en $N$ !
Connais-tu le lemme de Borel-Cantelli ? C'est essentiellement ce que tu cherches à montrer, et il donne immédiatement le résultat. Sinon, on pourra te guider pour la démonstration. -
Ah oui ca marche avec ce Lemme.
Notons $A_n=\{|X_n-X>\varepsilon\}$. Par Borel Cantelli, $A:=\#\{n\in \mathbb N: \omega\in A_n\} <\infty $ est de mesure $1$.
Notons pour $\omega\in \Omega: \mathbb N=\{n\in \mathbb N: |X_n(\omega)-X(\omega)>\varepsilon\}\sqcup \{n\in \mathbb N: |X_n(\omega)-X(\omega)\leq\varepsilon\}=\gamma_1(\omega)\sqcup \gamma_2(\omega)$.
On a que $\gamma_1(\omega)$ est fini presque sûrement (pour tout $\omega\in A$) donc $\gamma_2(\omega)$ est infini presque sûrement (pour tout $\omega\in A$).
Pour $\omega\in A$ notons d'ailleurs $m:= \max \gamma_1(\omega)$. Donc pour tout $\omega\in A, n>m\implies n\in \gamma_2(\omega)$.
On conclut donc que presque sûrement (pour tout $\omega\in A$), on a que $\forall \varepsilon>0, \forall n>m, |X_n-X|<\varepsilon$. -
Attention, tu as un problème subtil de quantification à régler.
Ici tu as montré que pour tout $\varepsilon > 0$, on a "$|X_n - X| < \varepsilon$ à partir d'un certain rang" presque sûrement.
Ce que tu dois montrer est : presque sûrement, "pour tout $\varepsilon > 0, |X_n-X| < \varepsilon$ à partir d'un certain rang".
Est-ce que tu vois la différence entre les deux ? Il y a un argument supplémentaire pour obtenir le second à partir du premier. -
Oui et cette formulation est bizarre aussi :
> est fini presque sûrement (pour tout $\omega \in A$) -
Lucas: J'ai changé mon $A$que j'ai mal écrit.
Poirot: Je ne vois pas très bien, on dirait que vous dites qu'il faut inverser deux quantificateurs universels.
J'ai que $\forall \varepsilon>0, \forall \omega\in A, |X_n(\omega)-X(\omega)|<\varepsilon$ à partir d'un certain rang.
Vous me dites qu'il faut que j'inverse ces deux quantificateurs? -
Non, ce n'est pas la bonne quantification.
Tu as montré $$\forall \varepsilon > 0, \mathbb P(\text{il existe une infinité de } n \text{ tels que } |X_n-X| > \varepsilon) = 0.$$ Ce qu'il faut montrer est $$\mathbb P(\exists \varepsilon > 0, \text{il existe une infinité de } n \text{ tels que } |X_n-X| > \varepsilon) = 0.$$ -
Oui j'arrive à voir. J'ai essayé de montrer ce dernier cas mais je n'ai pas réussi...
-
Pardon j'ai inversé deux quantificateurs.
Ainsi, tu veux montrer que $$\mathbb P( \bigcup_{\varepsilon > 0} \text{il existe une infinité de } n \text{ tels que } |X_n-X| > \varepsilon) = 0.$$ Comme je t'ai dit ci-dessus, le problème est que cette réunion n'est pas dénombrable, ce qui pose des problèmes pour utiliser les propriétés usuelles des mesures. Comment se ramener à une réunion dénombrable ? -
J'ai essayé de sortir de cette non-dénombrabilité en vain.
Notons $R(\varepsilon)=\{|X_n-X|\leq \varepsilon, \text{ à partir d'un certain rang}\}$.
On sait que $\mathbb P(R(\varepsilon))=1\; \forall \varepsilon>0$.
Il faudrait montrer que $\mathbb P(\bigcap_{\varepsilon>0}R(\varepsilon))=1$.
Notons que $\tilde \varepsilon \geq \varepsilon\implies R(\varepsilon)\subset R(\tilde \varepsilon)$.
Aussi, $\forall \varepsilon>0,\exists m_\varepsilon>0$ tel que $\frac{1}{m_\varepsilon}\leq \varepsilon$.
Donc on a que $R\big(\frac{1}{m}\big)\subset R(\varepsilon)\; \forall m\geq m_\varepsilon$.
On peut aussi dire que
$$\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcup_{m\geq m_\varepsilon}R\Big(\frac{1}{m} \Big )\subset \bigcap_{\varepsilon>0}R(\varepsilon)
$$ Je ne sais pas quoi en tirer... -
Non mais quand même, quand tu écris
> $A:=\#\{n\in \mathbb N: \omega\in A_n\} <\infty $ est de mesure $1$.
c'est trèèèèèès bizarre. Que vient faire ce "de mesure $1$" puisqu'il semble s'agir d'un nombre? -
Pour en revenir au coeur de la preuve (ton dernier message et les indications de Poirot), tu essaies à raison d'utiliser la définition classique de la convergence dans $\mathbb{R}$ : pour tout $\varepsilon >0$ blablabla...
Mais tu te souviens sûrement qu'on peut dans cette définition se restreindre à tout $\varepsilon$ dans ... (plusieurs choix dénombrables sont possibles). -
Ah désolé pour la confusion, c'est un raccourci: $\#\{n\in \mathbb N\mid \omega\in A_n\}<\infty=\left\{\omega\in \Omega\mid \#\{n\in \mathbb N\mid \omega\in A_n\}<\infty\right\}$.
-
Ah oui merci Lucas je vois :-)
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Bonjour!
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