Loi du milieu

Tu aurais pu citer la source de cet énoncé, ou le faire dans le fil consacré au concours général !

Tu aurais du te lancer dans le dernier exo sur les fonctions plutôt. Déjà, le total de "10 possibilités" montre que tu n'as pas compris le problème.

EDIT : A force de vouloir te donner tort, je finis moi-même par avoir tort.

Ta question 6) c'est déjà faux aussi. Il y a certes une symétrie en $n$ pour $i \mapsto \mathbb{P}(D_n=i)$ mais pas pour $i \mapsto i\mathbb{P}(D_n=i)$

Les boules sont numérotées de n-n à n+n.
Les boules qui portent les numéros n-k et n+k ont des roles parfaitement symétriques. P(n-k)=P(n+k)
Par application de la symétrie prouvée dans la question précédente, $E(D_n)=n$
Si on est soi-même convaincu que la symétrie suffit pour justifier ce résultat, on n'a pas le moindre calcul à faire pour convaincre le lecteur.

Ca me fait penser à la devise attribuée à la reine Victoria : 'never complain, never explain'

Pour cette question 6, si on commence à expliquer avec 7 ou 8 lignes de calculs pourquoi $E(D_n)=n$, ça veut dire qu'on n'a pas pris la mesure de l'exercice.
Dans la question 5, on a prouvé la symétrie ; dans la question 6, on en déduit que l'espérance vaut n. Fin des débats.

Mais pour ça, il faut que le lecteur soit mis en confiance dès la 1ère question. Si a la première question, on a tergiversé, en comptant chacun des 8 cas pour prouver que $P(D_2=2) = 8/10$, alors le correcteur voit qu'on tergiverse. Et donc, il ne va pas accepter une réponse trop expéditive pour cette question 6.

Comme déjà dit, et démontré dans la question 5, on a une symétrie dans notre histoire.
J'avais donc suggéré de faire un changement de variable.
Si au lieu de travailler avec j, $0 \le j \ le 2n$, on faisait un changement de variable d=j-n, et donc $-n \le d \ld n$
Dans les calculs, quand tu calcules la probabilité que la boule n+d soit éliminée dès le premier tirage, tu verras plus facilement la symétrie.
Si ta formule n'est pas paire ($ f(d) \neq f(-d) $ ), ta formule est fausse.
Je pense qu'avec ce changement de variable, tu es doublement gagnant :
- tu as l'estime du type qui corrige, il voit que tu domines l'exercice ; tu n'es pas en train de subir les questions qu'on assène, tu prends des initiatives.
- Et tu es gagnant parce que les calculs sont plus simples, grâce à ce changement de variable astucieux.

La vérification à tout moment que la fonction obtenue est bien paire ... c'est une vérification facile.

Pas d'accord sur la fin. Sois plus prudent. Pour la 10), utiliser 7) sûrement...

Arrêter de minorer un truc que tu veux faire tendre vers 0, ça ne sert à rien puisque $M_n \geq 0$.

Tu peux remarquer que $u_n = \prod_{i=1}^n 1-\frac{1}{2i}$ et $1-p_j \leq 1-\frac{1}{2n}$. Maintenant, il faut réfléchir à comment associer ces quantités à des proba pour que cela fasse sens. Quand je vois "max de va", je pense automatiquement à une proba d'intersection d'événements et donc à un produit par indépendance. Bref, on doit plus être très loin... C'est un semi début de raisonnement pour te montrer un peu ce qu'il se passe dans ma tête quand j'ai toutes ces données en main. C'est typiquement ce genre de brouillon qui devrait se dessiner dans ta tête à toi aussi avant de t'embarquer direct dans une rédaction et des calculs.

Faire cet exercice, ça n'a que peu d'intérêt.
Faire cet exercice tout seul, bosser pendant 2 heures, et proposer sa solution. Oui, c'est un très bel exercice.
Mais se faire accompagner, pour faire cet exercice, ça n'a aucun intérêt.

Ce qui pourrait être bien pour Oshine maintenant, ce serait de refaire quasiment le même exercice, en changeant pas grand chose dans l'énoncé.
On a 2n+1 boules dans une urne, numérotées de 0 à 2n.
On tire 4 boules ( 4 et non plus 3), on regarde les numéros des 4 boules, si les boules portent les numéros a,b,c et d, avec a<b<c<d, on remet dans le sac les boules b et c, et on retire définitivement les boules a et d.
Et on répète l'opération autant de fois que possible.
A la fin du process, il va forcément rester 3 boules.
Et on s'intéresse à ces 3 boules.
Et là, il y a matière à s'amuser. Rédiger un exercice, fortement inspiré de l'énoncé original, mais avec une variante de ce type. Et surtout, solutionner ce nouvel exercice !

Soit OShine est capable de solutionner ce nouvel exercice, et ça veut dire que le travail lui a été profitable. Soit il se trompe, et il a donc perdu son temps.

OS a écrit:

Mais je ne comprends pas le $P_{X_l}(D_n =k+1)=P(D_{n-1} =k)$
Pour moi $P(D_{n-1} =k)=0$ car à la première sélection on élimine $k$ et $l$.

Tu as vu que des fois, il y a un conditionnement et des fois non quand même ? $P(D_{n-1}=k)$ n'a aucune raison d'être nul.

Ben arrête d'écrire des alignements de formules sans rien chercher à comprendre de la situation, tu fais pas des maths là !!

On part de la situation pour $n$ : $0,..,k-1,k,k+1,...,l-1,l,l+1,...,2n$ donc $2n+1$ boules.
Sous $X_l$, on a 0,..,k-1,k,k+1,...,l-1,l,l+1,...,2n soit $2n-1$ boules.
Dans cet univers, aller obtenir la boule $k+1$ en $n$ étapes, c'est bien la même chose qu'aller chercher la boule $k$ partant de la situation $n-1$ : $0,...,k-1,k,k+1,..,l-1,l,l+1,...2n-2$ où on démarre avec $2n-1$ boules. En fait on a juste fait une translation : on supprime une boule à gauche et une boule à droite de $k+1$ donc on ne change pas la position de k+1 au sein du vecteur, juste le nombre total de boules puisqu'on en supprime 2 d'où le fait que c'est comme si on était à l'étape $n-1$...

A formaliser mieux. Je ne sais pas si cette rédaction serait acceptée. Un peu comme dit lourran, c'est à la tête du candidat, c'est-à-dire selon sa qualité de rédaction sur les précédentes questions moins délicates...

Vu que la question c'est "pourquoi blabla" et pas "démontrer blabla", on peut penser qu'un jury de correcteurs accepterait ce raisonnement avec les mains. Et en comparant les réponses à cette question de l'ensemble des copies, on peut regarder la rédaction la plus satisfaisante et indexer la note des autres par rapport à celle-ci... Bref, je ne suis pas super satisfait de ma réponse mais ça serait ma réponse.

Question 13a)
Que représente ce $P_{X_l}(D_n=k)$ ? Ce nombre, c'est la probabilité que le dernier élément restant soit l'élément $k$, en supposant qu'on tire au 1er tirage les éléments $k$ , $k+1$ et $l$.
Si au premier tirage, on tire les éléments $k$, $k+1$ et $l$, avec $l>k+1$ , alors on remet dans l'urne l'élément $k+1$, et on rejette les éléments $k$ et $l$.
Du coup, la probabilité d'avoir l'élément $k$ comme dernier élément est nulle, vu qu'on vient de retirer définitivement cet élément $k$ de l'urne.

Deuxième partie de cette question 13a)
Que représente ce $P_{X_l}(D_n=k+1)$ ? Ce nombre, c'est la probabilité que le dernier élément restant soit l'élément $k+1$, en supposant qu'on tire au 1er tirage les éléments $k$, $k+1$ et $l$.

Et par ailleurs, que représente $P(D_{n-1}=k)$
Ce nombre, quand on commence avec $2*(n-1)$ boules numérotées de $0$ à $2*(n-1)$, c'est la probabilité de finir avec la boule $k$.

Si au premier tirage on tire les éléments $k$, $k+1$ et $l$, avec $l> k+1$ on rejette les boules $k$ et $l$, et on remet dans l'urne la boule $k+1$.
A ce moment de l'expérience, on a donc dans l'urne $2*(n-1)+1$ boules, qui ne sont pas numérotées de $0$ à $2*(n-1)$ , mais de $0$ à $2n$, avec 2 boules manquantes, les boules $k$ et $l$
On est en fait dans une situation totalement comparable au cas où on commence l'expérience avec $2*(n-1)+1$ boules, numérotées de $0$ à $2*(n-1)$ ; le fait que les numéros des boules soient séquentiels ou non, c'est totalement secondaire.
La seule chose qui compte,c'est qu'on sache ordonner les boules, et qu'on sache identifier la boule qui a $k$ boules avant elle, et $2*(n-1)-k$ boules après elle.
Cette boule , elle a une probabilité $P(D_{n-1}=k )$ de ressortir comme dernière boule.
Peu importe que l'expérience ait commencé avec $2(n-1)+1$ boules et qu'on parle de la boule n°$k$, ou que l'expérience ait commencé avec $2n+1$ boules, et qu'on parle de la boule n°$k+1$ , du moment que les 2 boules qu'on vient de retirer sont de part et d'autre de cette boule n°$k+1$.

Ici, on a même une hypothèse 'trop forte'. On suppose qu'on a tiré au 1er tirage les boules $k$, $k+1$ et $l$ avec $l>k+1$ ; le raisonnement serait exactement le même, en supposant qu'on a tiré au 1er tirage les boules $m$, $k+1$ et $l$ avec $m<k+1<l$.

Deuxième cas : $l$ peut être entre $k$ et $k+1$ ????

Rappelle-moi, on est bien toujours sur le même exercice, et $k$ et $l$ sont bien des entiers ?

Cette histoire de traiter le cas $k<l<k+1$, ça me choque vraiment.
Comment peut-on faire une telle faute ?
Si je ne l'avais pas vu de mes yeux, je ne l'aurais pas cru. Incroyable qu'un type fasse cette faute.
Et en plus, on me dit que le type qui fait cette faute, il est prof de maths.

$X=\bigsqcup_{l \notin\{k,k+1\}} X_l$ et tu connais les proba conditionnelles par rapport aux événements $X_l$ donc normalement, tu as tout. Allez, débrouille toi un peu, c'est pénible, on fait que de te "carry" comme disent les gamers. Tu veux faire le sujet mais on te fait chaque question à tel point que plus personne ne veut intervenir sur ce topic.