Probabilité simple dans un jeu de société

mamantins · March 2021

Bonjour à tous
Je m'appelle Alexandre et l'un de mes hobby dans la vie est la création de jeu de société.
A contrario, l'un de mes points faibles s'appelle "Statistique et probabilité".
Je n’y arrive pas... Ça ne veut pas rentrer... Je me perds très\trop rapidement... Dès que je pense avoir compris, je me pose une question qui fout tout par terre.
Bref, dans le cadre de la création d'un jeu de société, j'ai fait la brute pour calculer des probabilités, j'ai simulé 10000 tirages et compté.
J'ai fait ça avec un ordi je vous rassure, mais j'ai quand même un gros doute sur mes résultats aussi, je vous pose les problèmes que voici.

Soit un jeu de 48 cartes contenant exactement 12 cartes rouges, 12 cartes bleues, 12 cartes vertes et 12 cartes jaunes.
Le jeu est mélangé.
Puis je pioche 9 cartes.
Quelles sont les probabilités suivantes.
- Avoir au moins 1 rouge et au moins 1 jaune et au moins 1 verte.
- Avoir au moins 4 rouges.
- Avoir au moins 2 vertes et au moins 2 bleues.
- Avoir au moins 3 jaunes et au moins 2 bleues.
- Avoir au moins 4 vertes et au moins 1 rouge.
- Avoir au moins 2 vertes et au moins 2 bleues et au moins 1 rouge.

Je n'arrive pas à écrire une "loi/formule" pour ça.
Je me doute bien qu'elle existe mathématiquement, mais je me mélange les pinceaux très vite entre les combinaisons, les probabilités de ne pas avoir tel résultat à soustraire à la probabilité que ça arrive certainement voir l'inverse...
Bref, je sèche... Mathématiquement parlant... Cette logique m'échappe totalement.
Quand je vois les sujets de la communauté, je me demande si ce que je pose comme question n'est pas complètement basique pour vous.

Y a-t-il une bonne âme pour me guider sur le droit chemin ?
J'ai bien récupéré des exemples ici ou là avec des rois et des dames de cœur, mais j'ai toujours un truc qui m'échappe.

Pour les plus téméraires, je cherche également une autre information qui serait la suivante.
Après avoir pioché 5 cartes (restent 43 cartes dans le paquet), je retire, au hasard, 10 cartes du paquet (restent 33 cartes dans le paquet).
Puis je pioche 4 cartes du paquet (parmi les 33 donc).
Même question de probabilités qu'au-dessus.

En vous remerciant pour votre aide.
Mam's

lourrran · March 2021

Je vais répondre directement à ta dernière question.
Je tire 5 cartes.
Puis je tire 10 cartes.
Puis je tire 4 cartes parmi les 33 restantes.
Et on se pose des questions sur les 4 cartes tirées à la fin.

D'après ce que je comprends, tu as tiré 5 cartes puis 10. Mais tu n'as pas regardé ces 15 cartes., ou en tout cas, tu ne donnes aucune information sur ces 15 cartes.
Si on a regardé les 15 cartes, et si on constate qu'on a déjà les 12 cartes jaunes dans ces 15 cartes, voilà une info vachement importante !

Si on tire 15 cartes et qu'on les regarde, ça revient à faire des calculs sur un jeu de 33 cartes, dont X jaunes, Y rouges, Z vertes et T bleues.
Ni plus ni moins compliqué que l'exercice de départ, si ce n'est qu'on va devoir refaire les calculs, à chaque fois que X ou Y ou Z ou T change.

Si on ne regarde pas les 5+10 cartes, alors le fait de tirer 5 cartes, puis 10 cartes, puis regarder les 4 suivantes.Ca n'a pas d'importance.
Qu'on s'intéresse aux 4 premières cartes, ou aux 4 dernières cartes, ou aux 4 cartes rangées entre le n°16 et le n°19, tout ça, c'est exactement les mêmes calculs.

Dans le domaine du jeu, tu veux uniquement des ordres de grandeur. Tu peux déjà faire des calculs approximatifs, pour avoir des ordres de grandeur.

Avoir au moins une jaune en tirant 4 cartes ????
On va s'intéresser à l'opposé, n'avoir aucune jaune.
Ca veut dire que la première carte n'est pas jaune : 3 chances sur 4.
Ca veut dire que la 2ème carte non plus n'est pas jaune : encore 3 chances sur 4 , donc 3*3/4*4 : 9 chances sur 16
et pareil pour la 3ème carte, et pareil pour la 4ème carte.
Donc la probabilité de ne pas avoir de carte jaune, c'est 81/256. Et par 'complément', la probabilité d'avoir au moins une jaune, c'est 175/256.

J'ai fait volontairement une erreur dans ce calcul, pour simplifier le calcul. Le résultat n'est pas très loin de ce que j'annonce.
Si tu sais reproduire ce genre de raisonnement, tu as déjà des bases pour trouver des ordres de grandeur.
Si tu trouves l'erreur, et que tu sais la corriger, c'est encore mieux. Pour un exercice de maths, il faudrait absolument corriger cette erreur. Bien entendu.
Pour un jeu, pour un ordre de grandeur, en amateur, tu peux déjà te contenter de cette approximation.

Autre question : avoir au moins 4 rouges en tirant 9 cartes ?
Au moins , ou Au plus, tu peux partir du principe que c'est toujours impossible à calculer. de façon 'directe'. On sait calculer la proba d'avoir EXACTEMENT K rouges, on ne sait pas calculer de façon directe la proba d'avoir AU MOINS K rouges.
Les expressions au moins et au plus ... Il faut toujours reformuler pour supprimer ces expressions.

Il faut calculer la proba d'exactement 4 rouges,
puis la proba d'avoir exactement 5 rouges
exactement 6 rouges
etc etc
proba d'avoir exactement 9 rouges
Puis tout additionner.

Mais on peut être un peu plus futé :
On calcule Proba exactement 0 rouge
puis proba exactement 1 rouge
puis proba exactement 2 rouges
puis proba exactement 3 rouges
On a 4 calculs à faire.
Puis on fait l'addition de ces 4 résultats
Puis on dit : au moins 4 rouges , c'est le complémentaire de ce qu'onvient de calculer.
On a donc 4 proba à calculer , au lieu de 6.

Rescassol · March 2021

Bonjour,

$1-\dfrac{C_{12}^{\space 0}C_{36}^{\space 9}+C_{12}^{\space 1}C_{36}^{\space 8}+C_{12}^{\space 2}C_{36}^{\space 7}+C_{12}^{\space 3}C_{36}^{\space 6}}{C_{48}^{\space 9}}=\dfrac{273157}{1905803}\simeq 0.1433=14.33 \space\%$ pour la deuxième question.

Cordialement,

Rescassol

mamantins · March 2021

Bonsoir,

Pour la deuxième partie de la question, j'ai bien 9 cartes en main à la fin.
Je me suis mal exprimé.

Merci à tous pour vos retours.

Mam's

mamantins · March 2021

lourrran a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2210752,2210762#msg-2210762
Dans le domaine du jeu, tu veux uniquement des ordres de grandeur. Tu peux déjà faire des calculs approximatifs, pour avoir des ordres de grandeur.
Avoir au moins une jaune en tirant 4 cartes ???
On va s'intéresser à l'opposé, n'avoir aucune jaune.
Ca veut dire que la première carte n'est pas jaune : 3 chances sur 4.
Ca veut dire que la 2ème carte non plus n'est pas jaune : encore 3 chances sur 4 , donc 3*3/4*4 : 9 chances sur 16 et pareil pour la 3ème carte, et pareil pour la 4ème carte.
Donc la probabilité de ne pas avoir de carte jaune, c'est 81/256. Et par 'complément', la probabilité d'avoir au moins e jaune, c'est 175/256.
J'ai fait volontairement une erreur dans ce calcul, pour simplifier le calcul. Le résultat n'est pas très loin de ce que j'annonce. Si tu sais reproduire ce genre de raisonnement, tu as déjà des bases pour trouver des ordres de grandeur. Si tu trouves l'erreur, et que tu sais la corriger, c'est encore mieux. Pour un exercice de maths, il faudrait absolument corriger cette erreur. Bien entendu.
Pour un jeu, pour un ordre de grandeur, en amateur, tu peux déjà te contenter de cette approximation.

Merci beaucoup pour les explications.
La correction serait 36/48 pour la premier puis 35/47 pour la seconde.
Donc (36x35)/(48x47) donc 1260/2256 donc la probabilité d'avoir au moins 2 jaunes serait de 996/2256.
J'ai bon ?

Si ça je l'ai. Donc si je veux au moins 2 jaunes et au moins 2 vertes.
Je vais faire la même chose...
Probabilité de ne pas avoir de jaune et de verte.
24/48 pour la première jaune, 23/47 pour la deuxième jaune, 22/46 pour la première verte et 21/45 pour la deuxième verte.
Puis...
C'est le drame! Je bloque...
Donc je dois avoir faux avant...

lourrran · March 2021

La correction serait 36/48 pour la premier puis 35/47 pour la seconde.
Donc (36x35)/(48x47) donc 1260/2256 donc la probabilité d'avoir au moins 2 jaunes serait de 996/2256.
J'ai bon?

C'est la réponse à quelle question ? La probabilité d'avoir au moins 2 jaunes en tirant 9 cartes ? Le Nombre de cartes tirées (9, ou 4 ou ...) doit bien intervenir quelque part, non ?

36/48 puis 35/47, oui. Mais le reste , non.

mamantins · March 2021

ARG !
Il me manque en effet quelque chose...
La taille de la main... Disons 5 cartes.

Donc il s'agit de trouver le nombre de combinaison possible.
C₄₈⁵
Ça je l'ai.

Donc il faut que j'y applique mes probabilités d'avoir parmi ces combinaisons "au moins 2 cartes jaunes".
J'aurais intuitivement fait ainsi:
C₄₈⁵ x (996/2256)

Mais je dois avouer que je ne "comprends" pas ce que je fais... ;(
Mam's

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

lourrran · March 2021

Parfois, on travaille avec des fractions, parfois pas.
Quand on travaille avec des fractions, en fait, on brûle des étapes. Si on a le sentiment d'arriver au bon résultat, tant mieux. Mais si on voit qu'on fait fausse route, il ne faut surtout pas en plus brûler des étapes.
Il faut revenir aux fondamentaux.
Une probabilité, c'est ... compter le nombre total de tirages possibles, compter le nombre de tirages gagnants, puis au tout dernier moment, faire la division de ces 2 nombres.
Et il ne faut surtout pas vouloir bruler les étapes. Il faut commencer par des trucs simples. Puis ajouter un peu de complexité... pour être sûr de chaque étape :

Nombre total de tirages possibles, avec 5 cartes =
Nombre total de tirages de 5 cartes, avec aucune carte jaune = ...
Nombre total de tirages de 5 cartes, avec une carte jaune puis 4 cartes autres = ...
Nombre total de tirages de 5 cartes avec exactement 1 carte jaune = ...
Nombre total de tirages de 5 cartes avec soit 0 soit 1 carte jaune = ...
Nombre total de tirages de 5 cartes avec au moins 2 cartes jaunes = ...
Probabilité d'avoir au moins 2 cartes jaunes dans un tirage de 5 cartes = ...

Pour controler, on peut aussi compter plus de choses.
Combien de tirages ont aucune carte jaune, combien en ont une seule, combien en ont 2, combien en ont 3 etc etc ...
Quand on a compté tout ça,
Soit la somme de tous ces nombres, ça donne le nombre de tirages possibles. Et dans ce cas, on peut être confiant, on a dû appliquer les bonnes formules.
Soit ça ne donne pas le nombre de tirages possibles, et on s'est forcément trompé quelque part.
Et il faut donc recommencer.

mamantins · April 2021

Bonjour,

Merci infiniment pour votre patience et de votre aide.
Je crois que je viens de franchir une étape. (^_^)

En effet, je voulais m'attaquer à la probabilité d'un événement sans "compter" les cas possibles.
Les raccourcis que j'empruntais me perdaient finalement...
Je faisais l'amalgame dangereux Probabilité = Combinatoire.

> Nombre total de tirages possibles, avec 5 cartes = C⁴⁸₅ = 1712304

> Nombre total de tirages de 5 cartes, avec aucune carte jaune = C³⁶₅ = 376992 (C'est le nombre de combinaison possible de 5 cartes parmi toutes celles qui ne sont pas jaunes.)

> Nombre total de tirages de 5 cartes, avec une carte jaune puis 4 cartes autres = Il est pour moi, identique au suivant (Nombre total de tirages de 5 cartes avec exactement 1 carte jaune)

> Nombre total de tirages de 5 cartes avec exactement 1 carte jaune = C³⁶₄ + C¹²₁= 58905+12 = 58917 (C'est le nombre de combinaison possible de 4 cartes parmi toutes celles qui ne sont pas jaunes a laquelle j'ajoute les combinaisons d'avoir forcement une jaune.)

> Nombre total de tirages de 5 cartes avec soit 0 soit 1 carte jaune = C³⁶₅ + C³⁶₄ + C¹²₁(C'est le nombre de combinaison de 5 cartes toutes celles qui ne sont pas jaunes à laquelle j'ajoute les combinaisons d'avoir exactement un jaune.)

> Nombre total de tirages de 5 cartes avec au moins 2 cartes jaunes = C⁴⁶₃ = 15180 (C'est le nombre de combinaison possible de 3 cartes parmi toutes celles qui restent après avoir exclu 2 cartes jaunes qui sont "finalement déjà" dans ma main.)
C'est sur cette dernière que j'ai peur de ne pas avoir le bon raisonnement.

Je ne sais pas, j'ai l'impression de devoir faire des inversions de dénombrement... (>_<)

Mais en tout cas, dans la méthodologie générale, il faut que je compte avant de faire des proba!

Mam's

PetitLutinMalicieux · April 2021

Bonjour

Attention. Dans la notation $C_n^p$, on a $n\ge p$. Tu as inversé les nombres dans toutes tes notations.

Pour ton dernier calcul, ne pourrait-on pas former une main avec 2 jaunes qui ne sont pas les 2 jaunes que tu as présélectionnées ? Cette erreur se retrouve dans la question d'avant. Une jaune, oui, mais laquelle ?

Quant au fait de multiplier ou additionner, réfléchis bien. Si les cas sont indépendants, il y a des chances que ce soit une addition. Si tu peux dire "pour chaque (élément 1), on a (élément 2)", alors c'est une multiplication.

lourrran · April 2021

Il y a beaucoup d'erreurs.
Calcule les différents cas (nombres de main avec 0 carte jaune, une carte jaune, 2 cartes jaunes ... etc etc)
La somme de tout ça, ça doit faire le total de mains possibles et imaginables.

C'est vraiment le contrôle à faire quand on n'est pas certain de ce qu'on fait.
Et si tu trouves beaucoup trop, ou beaucoup trop peu, ou si tu constates des résultats contre-intuituifs, ça te guide pour retrouver les calculs qui sont faux.

mamantins · April 2021

Bon... visiblement je n’ai pas le fondement sorti des ronces.
Je vais reprendre les calculs...

lourrran · April 2021

Faisons le truc dans les très grandes masses, vraiment à la hache.
J'ai 48 cartes. J'en choisis 5 au hasard.
Première question : Combien de mains possibles. Tu as trouvé 1 712 304. Oui, c'est ça.
Combien on peut avoir de cartes jaunes ? Entre 0 et 5. Ca fait 6 répartitions possibles.
La main 'classique', c'est une carte de chaque couleur, plus une 5ème carte. Donc 2 cartes d'une couleur, et 1 carte dans chacune des 3 autres couleurs.

Le nombre de cartes jaunes, c'est un nombre entre 0 et 5 , et le plus fréquent, ça doit être 1.
Le 2ème cas le plus fréquent, ça doit être 2, un peu plus fréquent que le 0
Et les cas avec 3 cartes jaunes, 4 cartes jaunes , et surtout 5 cartes jaunes, ils deviennent exceptionnels.

A la hache, on a donc quelque chose comme ça :
0 carte jaune : 337000
1 : 753 000
2 : 400 000
3 : 180 000
4 : 28 000
5 : 4 000

C'est très approximatif, au feeling uniquement, et pour que la somme fasse notre total de 1 712 304.

En vérifiant, ton calcul pour 0 carte jaune donne 376992 ... ok , on est à peu près dans la plaque, on ajuste un peu... et ça nous donne des ordres de grandeur pour le reste.
Et je confirme, 376992, c'est correct

A toi de chercher la bonne formule pour 'exactement une carte jaune'... si tu tombes sur à peu près 750000 , ou 650000 , c'est plausible. Si tu tombes sur 80000 , ça ne semble vraiment pas plausible.

mamantins · April 2021

> Nombre total de tirages possibles, avec 5 cartes = C₄₈⁵ = 1712304

> Nombre total de tirages de 5 cartes, avec aucune carte jaune = C₃₆⁵ = 376992 (C'est le nombre de combinaison possible de 5 cartes parmi toutes celles qui ne sont pas jaunes.)

> Nombre total de tirages de 5 cartes, avec 1carte jaune = C₃₆⁴ + C₁₂¹ = 58917 (C'est le nombre de combinaison de 4 cartes parmi toutes celles qui ne sont pas jaunes à laquelle j'ajoute les combinaisons d'avoir exactement un jaune.)

> Nombre total de tirages de 5 cartes, avec 2carte jaune = C₃₆³ + C₁₂² = 7206 (C'est le nombre de combinaison de 3 cartes parmi toutes celles qui ne sont pas jaunes à laquelle j'ajoute les combinaisons d'avoir exactement deux jaune.)

> Nombre total de tirages de 5 cartes, avec 3carte jaune = C₃₆² + C₁₂³ = 850 (C'est le nombre de combinaison de 2 cartes parmi toutes celles qui ne sont pas jaunes à laquelle j'ajoute les combinaisons d'avoir exactement trois jaune.)

> Nombre total de tirages de 5 cartes, avec 4 carte jaune = C₃₆¹ + C₁₂⁴ = 531 (C'est le nombre de combinaison de 1 cartes parmi toutes celles qui ne sont pas jaunes à laquelle j'ajoute les combinaisons d'avoir exactement quatre jaune.)

> Nombre total de tirages de 5 cartes, avec 5 carte jaune = C₃₆⁰ + C₁₂⁵ = 792 (C'est le nombre de combinaison de 0 cartes parmi toutes celles qui ne sont pas jaunes à laquelle j'ajoute les combinaisons d'avoir exactement cinq jaune.)

Si j'additionne le tout... ça marche pas.
Si je multiplie par 4 (pour avoir toutes les couleurs) Ça marche pas.

Je ne comprends pas où se trouve mon erreur de raisonnement... (Je dois forcement en faire une.)
Ça me rend fou...

Mam's

Note: Je comprends par contre mieux pourquoi j'arrivais pas a faire mes stats.... J'arrive déjà pas à compter correctement.;-)

mamantins · April 2021

Les explication "à la hache" de Lourrran confirme mon intuition également. J'ai faux!
Mes résultats ne font pas que diminuer. (>_<)

mamantins · April 2021

ROFL!
Je crois que je l'ai!
Attention aux oreilles chastes: Putain! Je suis con!

C'est un nombre de combinaison possible "par" carte jaune.
C'est donc C₃₆⁴ x C₁₂¹ = 706860

Je me retrouve alors 1712304 de total!

Bon...
Je continue.
J'ai pas mes probabilités encore. (^_^)

Mam's

lourrran · April 2021

Il faut que tu trouves toi-même.

Commence par une configuration plus simple. On a nos 48 cartes, on tire 2 cartes. (2 au lieu de 5, c'est plus facile ; 1 seule carte, ce serait trop simple)
Combien de tirages possibles en tout ?
Combien de tirages avec aucune carte jaune ? Combien avec 1 carte jaune, et combien avec 2 cartes jaunes ?

PetitLutinMalicieux · April 2021

PO a écrit:

C'est un nombre de combinaison possible "par" carte jaune.
C'est donc C₃₆⁴ x C₁₂¹ = 706860

Bravo ! Tu as trouvé et compris la multiplication. Tu n'es pas loin de la réussite totale de tes calculs, maintenant.

lourrran · April 2021

1 712 304 au total ... Ca ne peut pas être une coïncidence ! Donc c'est certainement correct.

En plus, est-ce que les ordres de grandeurs sont cohérents avec ce qu'on pouvait prédire 'à la hache'...

Maintenant que tu as tes nombres de possibilités, le calcul des probabilités est 'immédiat'. C'est pas le moment de craquer.

mamantins · April 2021

PO a écrit:

Bravo ! Tu as trouvé et compris la multiplication. Tu n'es pas loin de la réussite totale de tes calculs, maintenant.

On ne se moque pas. (:D

PetitLutinMalicieux · April 2021

Mon message était premier degré. Sans ironie.

mamantins · April 2021

Bon, bon, bon.

J'ai mes éléments pour mes probabilités.

Par exemple Avoir Au moins 2 cartes jaunes consiste à prendre les combinaisons suivantes:
Exactement 2 Jaune => 471240
Exactement 3 Jaune => 138600
Exactement 4 Jaune => 17820
Exactement 5 Jaune => 792
Soit 628452 combinaisons possible.
Puis je divise ces valeurs par le nombre total de combinaison.
Pour un résultat de 36,7%

Joie!
J'aurais même pu faire la probabilité inverse. Mais je penseras à l'envers une autre fois.

MAIS!
Quelle est la probabilité d'avoir au moins 2 jaune et au moins 2 vert?
Je cherche.
Je pense que la piste est dans ce coin là...
C₁₂² x C₁₂² x C₄₄¹(Soit le nombre de combinaison de 2 parmi les jaune X le nombre de combinaison de 2 parmi les vert X le nombre de combinaison de 1 parmi toutes les cartes restante.)

Si je ne me suis pas trompé, j'ai compris. Sinon....La chute va être dure. (^_^)>

PetitLutinMalicieux · April 2021

Déjà, tu sembles faire le raisonnement "exactement 2 jaunes, exactement 2 vertes, et une quelconque". Pas "au moins 2 ..."

Ensuite, quand j'ai 48 cartes, j'en enlève 12, puis j'en enlève encore 12, combien en reste-t-il ? D'où vient le 44 ?

lourrran · April 2021

Au moins, ... c'est toujours une grosse galère. TOUJOURS.
Moi, je ne sais pas faire quand il y a 'Au Moins' dans l'énoncé. Je n'essaie même pas, parce que je sais qu'il n'y a pas de formule magique.

Mais, je sais réécrire l'énoncé, pour retomber sur des trucs connus.

Au moins 2 jaunes et au moins 2 vertes... ca veut dire :
Exactement 2 jaunes et Exactement 2 vertes , et une parmi les 24 restantes
ou bien
Exactement 3 jaunes et Exactement 2 vertes
ou bien
Exactement 2 jaunes et Exactement 3 vertes

Tu calcules ces 3 probabilités, et tu les additionnes, et l'affaire est dans le sac.

Réécrire l'énoncé, pour le ramener à une somme ou une différence de trucs connus, c'est ça, la recette magique.

Et avoir des moyens de controler, à la fin. Soit en vérifiant que la somme de tous les cas, ça donne bien 100%, soit parce qu'on a un ordre de grandeur en tête.
Au moins 2 jaunes, c'est 36% ; au moins 2 jaunes et 2 vertes, ça doit faire 3% ou 4% ou 5% ... en gros. Si on trouve 0.1%, ou 15%, il y a un problème.

mamantins · April 2021

Bon, je chois ! ( De choire. ;-) )
Aïe !

@PetitLutinMalicieux.
J'en prends 2 des jaunes (donc 2 sur les 12.) J'en prends 2 des Vertes (donc 2 sur les 12) la dernière "n'importe laquelle parmi toutes celles restantes": Donc 1 parmi 44 (48 - 4)
Car pour la dernière je me fiche de savoir si elle est jaune ou verte ou rouge ou bleu.
Bilan, à la fin j'ai bien au moins 2 jaunes et au moins 2 vertes.

Mais, visiblement cette façon de penser est incorrecte. (>_<)

@Lourran.
Je vais essayer de faire mon dénombrement d'éléments unitairement pour chaque combinaisons.
Dans l'affaire, j'ai une vingtaine de combinaisons de cartes que je veux évaluer (Toutes avec des "au moins". (>_<))
Ce n'est que le dessus de l'iceberg.

PetitLutinMalicieux · April 2021

mamantins a écrit:

Donc 1 parmi 44 (48 - 4)

Ahhhh. Je n'avais même pas compris. En fait, ce qui ne marche pas, c'est que, si tu n'isoles pas le groupe dans lequel tu pioches, tu vas compter 1 fois pour J1-J2-V1-V2 en ajoutant J3; Puis 1 fois J2-J3-V1-V2 en ajoutant J1; puis 1 fois J1-J3-V1-V2 en ajoutant J2. Soit 3 fois. Tu as compté 3 situations, alors que, en main, c'est la même ! Une seule situation.

Donc le résidu ne doit pas reprendre la source jaune, ni la source verte.

mamantins a écrit:

Car pour la dernière je me fiche de savoir si elle est jaune ou verte ou rouge ou bleu.

Maintenant, tu sais que non. Tu ne t'en moques pas.

lourrran · April 2021

@Marmantins,
Tu veux calculer une vingtaine de combinaisons... mais c'est le même calcul que tu vas faire plein de fois, et une bonne partie des résultats pourront être réexploités.

Tu peux même compter toutes les combinaisons. Avec un tableur, il faudra juste copier/coller toutes les formules ... ça va vite.
Dans un tableur, la fonction =Combin(12,4) donne le résultat C(12,4) ... Pratique pour ces calculs.

On tire 9 cartes.
Il y a plein de répartitions possibles, mais pas des milliers ..
9000
8100
7200
7110
6300
6210
6111
5400
5310 etc etc ...
Tu les recenses toutes. Tu comptes le nombres de mains qui correspondent à toutes ces combinaisons. Tu vérifies que la somme donne bien C(48,9) !!!
Et ensuite, tu pourras 'piocher' dans ce tableau toutes les probabilités que tu veux.

Ca va prendre du temps. Le recensement de toutes les combinaisons, et le comptage de mains pour chaque ligne,ça peut te prendre largement une journée.
Mais c'est l'étape quasiment indispensable, si tu as beaucoup de cas à calculer derrière.

Et si tu es un peu programmeur, tu peux même automatiser tous ces calculs, comme ça, tu pourras en un clic, actualiser ton tableau avec 52 cartes au lieu de 48 ... ...
Mais ça, c'est l'étape d'après. Il faut d'abord le faire à la main pour bien appréhender tous les cas.

mamantins · April 2021

Bonjour à tous,

D'abord merci à tous pour votre aide.
Je pense avoir saisi le fonctionnement du bousin.

Bref, je vais mettre en application tout ça.
En effet, c'est long d'écrire les dénombrements surtout que je change la taille de ma main pour valider certains éléments.

Bref, je vais faire la démonstration ci-dessous pour trouver la probabilité d'avoir au moins 2 jaunes et au moins 2 rouges dans une main de 7 cartes.
Le but est de confirmer que j'ai bien tout compris. (^_^)

J'ai donc un nombre de mains possible de C₄₈⁷ soit 73629072 mains possible.

Je cherche le nombre de mains avec exactement 2 jaunes et 2 rouges.
Je dois ici prendre ce que je vais appeler la "position initiale"; celle où j'aurais JJRRXXX
Donc C₁₂² x C₁₂² x C₂₄³ = 66x66x2024 = 8816544

Je cherche ensuite toutes les combinaisons faisant apparaitre une carte jaune ou rouge supplémentaire.
La bonne nouvelle ici est que si je fais mes calculs pour les jaunes, ça sera les mêmes pour les rouges. Il suffit donc de multiplier par 2 les résultats.
Je cherche donc:
JJJRRxx = C₁₂³ x C₁₂² x C₂₄² = 4007520 ==> 8015040
JJJJRRx = C₁₂⁴ x C₁₂² x C₂₄¹ = 784080 ==> 1568160
JJJJJRR = C₁₂⁵ x C₁₂² x C₂₄⁰ = 52272 ==> 104544
JJJJRRR = C₁₂⁴ x C₁₂³ x C₂₄⁰ = 108900 ==> 217800
JJJRRRx = C₁₂³ x C₁₂³ x C₂₄¹ = 1161600 ==> celui-ci est particulier après réflexion je ne le doublerais pas. Intuitivement, je pense que l'inversion est déjà "incluse" dans ce résultat.

J'ai donc un nombre de combinaison d'avoir; au moins 2 Jaunes et 2 rouges de 8816544+8015040+1568160+104544+1161600+217800 = 19883688

Donc mon % final est de 19883688/73629072 soit 27%

Je pense que je le tiens.

Reste maintenant à penser à l'envers pour aller plus vite dans certains cas.
Ici ce n'est pas pertinent. Mais avec un au moins 1 jaune et au moins 1 rouge et une main de 9 cartes, ça va le devenir. (^_^)
Dans un tel cas, je pars de l'événement "nul": Je n'ai aucune carte de ces couleurs en main, puis je compte les cas défavorables jusqu'à arriver à la "position initiale" de mon énoncé.
Je les retire alors au nombre de cas total pour avoir le nombre de cas favorable.

Je vais tenter de programmer un truc dans Excel pour faire ça maintenant que j'ai compris les bases....J'espère y arriver. (^_^)
Ça sera peut-être plus rapide de tout faire à la mano.

Mam's

lourrran · April 2021

Tout ça m'a l'air pas mal du tout.
Pour le cas avec 7 cartes, je pense que tu aurais intérêt à continuer le recensement :
JRXXXXX
JRRXXXX
JRRRXXX
etc etc
Ca fait encore quelques calculs, mais ça te permet de vérifier si la somme de tout ça, ça donne bien le 73629072 du début.

C'est plus long, 2 fois plus long, parce que 2 fois plus de calculs environ, mais à la fin, t'es tranquille.

PetitLutinMalicieux · April 2021

Bravo !

Ou sinon, tu fais un petit programme.

0 0 0 7 792
0 0 1 6 11088
0 0 2 5 52272
0 0 3 4 108900
0 0 4 3 108900
0 0 5 2 52272
0 0 6 1 11088
0 0 7 0 792
0 1 0 6 11088
0 1 1 5 114048
0 1 2 4 392040
0 1 3 3 580800
0 1 4 2 392040
0 1 5 1 114048
0 1 6 0 11088
0 2 0 5 52272
0 2 1 4 392040
0 2 2 3 958320
0 2 3 2 958320
0 2 4 1 392040
0 2 5 0 52272
0 3 0 4 108900
0 3 1 3 580800
0 3 2 2 958320
0 3 3 1 580800
0 3 4 0 108900
0 4 0 3 108900
0 4 1 2 392040
0 4 2 1 392040
0 4 3 0 108900
0 5 0 2 52272
0 5 1 1 114048
0 5 2 0 52272
0 6 0 1 11088
0 6 1 0 11088
0 7 0 0 792
1 0 0 6 11088
1 0 1 5 114048
1 0 2 4 392040
1 0 3 3 580800
1 0 4 2 392040
1 0 5 1 114048
1 0 6 0 11088
1 1 0 5 114048
1 1 1 4 855360
1 1 2 3 2090880
1 1 3 2 2090880
1 1 4 1 855360
1 1 5 0 114048
1 2 0 4 392040
1 2 1 3 2090880
1 2 2 2 3449952
1 2 3 1 2090880
1 2 4 0 392040
1 3 0 3 580800
1 3 1 2 2090880
1 3 2 1 2090880
1 3 3 0 580800
1 4 0 2 392040
1 4 1 1 855360
1 4 2 0 392040
1 5 0 1 114048
1 5 1 0 114048
1 6 0 0 11088
2 0 0 5 52272
2 0 1 4 392040
2 0 2 3 958320
2 0 3 2 958320
2 0 4 1 392040
2 0 5 0 52272
2 1 0 4 392040
2 1 1 3 2090880
2 1 2 2 3449952
2 1 3 1 2090880
2 1 4 0 392040
2 2 0 3 958320
2 2 1 2 3449952
2 2 2 1 3449952
2 2 3 0 958320
2 3 0 2 958320
2 3 1 1 2090880
2 3 2 0 958320
2 4 0 1 392040
2 4 1 0 392040
2 5 0 0 52272
3 0 0 4 108900
3 0 1 3 580800
3 0 2 2 958320
3 0 3 1 580800
3 0 4 0 108900
3 1 0 3 580800
3 1 1 2 2090880
3 1 2 1 2090880
3 1 3 0 580800
3 2 0 2 958320
3 2 1 1 2090880
3 2 2 0 958320
3 3 0 1 580800
3 3 1 0 580800
3 4 0 0 108900
4 0 0 3 108900
4 0 1 2 392040
4 0 2 1 392040
4 0 3 0 108900
4 1 0 2 392040
4 1 1 1 855360
4 1 2 0 392040
4 2 0 1 392040
4 2 1 0 392040
4 3 0 0 108900
5 0 0 2 52272
5 0 1 1 114048
5 0 2 0 52272
5 1 0 1 114048
5 1 1 0 114048
5 2 0 0 52272
6 0 0 1 11088
6 0 1 0 11088
6 1 0 0 11088
7 0 0 0 792
Somme totale :  73629072
Vérification nCp(48,7)=  73629072

mamantins · April 2021

!!! ho!!!
Merci Lutin !
Dans mon programme excel je n'étais pas parti dans cette direction.
Et automatiser le tout devenait super difficile.

Quel idiot je fais...
La liste par couleur ! C'est la solution !

Mam's

mamantins · April 2021

Problème Résolu donc.

Merci à tous!

Mam's

Probabilité simple dans un jeu de société

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Bonjour!

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