Convergence monotone - marche aléatoire

elleest · April 2021

Bonjour
Je poursuis ma lecture de "Recueil de modèles stochastqiues" de D.Chafaï et F.Malrieu : Modèles stochastiques.

À la page 28, les auteurs utilisent la convergence monotone pour échanger limite et intégrale dans la dernière égalité.
J'ai du mal à voir que les hypothèses du théorème de convergence monotone sont bien vérifiées.
Merci d'avance pour votre aide.
Estelle

Poirot · April 2021

C'est plutôt une convergence dominée puisque $1-\rho \cos(2 \pi x_k) \geq 1 - \cos(2 \pi x_k)$.

NB : L'hypothèse de monotonie dans le théorème de convergence monotone est superflue. Il suffit de supposer les $f_n$ positives, mesurables, convergeant p.s. vers $f$ telle que $f_n \leq f$. On pourrait appliquer cette version-là.

elleest · April 2021

Je comprends mieux

Merci !

elleest · May 2021

Bonjour
Dans le document joint, je ne comprends pas comment l'introduction du paramètre $\rho$ permet de permuter série et intégrale.
Merci d'avance pour votre aide.
Estelle. 122044

Poirot · May 2021

Tu avais déjà obtenu la réponse ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2212952,2212952#msg-2212952

elleest · May 2021

Ma question précédente portait sur l'échange limite et intégrale (plus loin dans la démonstration).
Ma question d'aujourd'hui porte sur le début de la démonstration : l'introduction de $\rho$ pour pouvoir permuter série et intégrale.

Merci d'avance.

girdav · May 2021

Bonjour Estelle,

Afin de pouvoir appliquer le théorème de Fubini à $\rho$ fixé, on doit démontrer que
$$
\int_{[0,1]^d}\sum_{n\geqslant 0}\left\lvert \rho^n\left(\varphi_{\varepsilon_1}(x)\right)^n\right\rvert dx<\infty.
$$
Pour cela,
on utilise le fait que $\varphi_{\varepsilon_1}$ est une fonction caractéristique, en particulier, son module est borné par $1$. On conclut grâce à la convergence de $ \sum_{n\geqslant 0}\left\lvert \rho^n \right\rvert $.