CV des proba vers CV p.s.

Prenons $X_n$ suivant la loi uniforme sur $\{n^2,\dots, (n+1)^2-1\}$
puis $A=\{X_n\mid n\ge 1\}$ et $A_n=\{n\not\in A\}$.

$P(A_n)$ tend vers $1$, mais $1_{A_n}$ ne tend jamais vers $1$.

L'exemple d'alea m'a bien plu, donc je me le réexplique.

Je joue à pile-ou-face, le succès $A_n$ au temps $n$ ayant pour proba $p_n = 1-q_n$.

Si $p_n\to0$, alors on a $1_{A_n}\to0$ en probas.

L'événenement $[1_{A_n}\to0]$ signifie, lui, qu'on n'a qu'un nombre fini de succès.

Or, de n'avoir plus de succès après le temps $n$, ça vient avec proba $u_n = q_{n+1} \times q_{n+2} \times \dots$.

La limite croissante de ça, c'est la probabilité d'avoir un nombre fini de succès.

Donc si $u_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} = \frac{n}{2(n+2)}$, il n'y a que $50\%$ de chances de n'avoir qu'un nombre fini de succès. La convergence n'est pas presque-sûre.
Ça donne $q_n = \frac{a_{n-1}}{a_n} = \frac{n-1}{2(n+1)}\cdot\frac{2(n+2)}{n}\leadsto p_n = 1-q_n = \frac{2}{n(n+1)}$.

En revanche pour $u_n = 1-\frac{1}{n+1}$, là, il y a convergence presque-sûre, et il vient $q_n = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$, donc $p_n = \frac{1}{n^2}$.

Ajout : évidemment, l'exemple d'aléa ressemble plus à l'expérience mutuellement indépendante suivante :
au temps $n$, je lance le dé à $n$ faces, et j'appelle succès le fait de tomber sur $n$.
Là, il est carrément impossible d'avoir un nombre fini de succès, car pour tout $n$, on a $\frac{n}{n+1} \times \frac{n+1}{n+2}\times \dots = 0$.
C'est pour ça qu'aléa dit que $1_{A_n}$ ne converge jamais, bien qu'elle converge en probabilités.

Bien sûr, ce n'est pas exactement ton exemple. Je voulais illustrer son principe, plus que sa réalisation.

Une suite de variable de Bernoulli $\epsilon_n$, c'est la même chose qu'un ensemble aléatoire $A(\omega)$ dans $\N$.

La convergence en probabilités des indicatrices est une forme de raréfaction de cet ensemble aléatoire.

La convergence de la suite des indicatrices traduit l'événement [l'ensemble $A$ est fini].

La raréfaction ne suffit pas à assurer la finitude presque-sûre, l'inverse, si.

En cas d'indépendance, une raréfaction assez rapide assure la finitude.