$\limsup$ d'évènement et de v.a.
Bonjour, soit $X_n$ une suite de v.a. indépendants ayant même loi.
Soit $\varepsilon>0$ et les évènements $A_n=\{X_n>1+\varepsilon\}$ et $B_n=\{X_n>1-\varepsilon\}$
Supposons que $\mathbb P(\limsup A_n)=0$ et $\mathbb P(\limsup B_n)=1$. Comment montrer que $\mathbb P(\limsup X_n=1)=1$?
Je me suis dit que si $\limsup A_n=\limsup \{X_n>1+\varepsilon\}=\{\limsup X_n>1+\varepsilon\}$ et de même $\limsup B_n=\limsup \{X_n>1-\varepsilon\}=\{\limsup X_n>1-\varepsilon\}$ alors on aurait que
$1=\mathbb P(\limsup B_n\setminus \limsup A_n)=\mathbb P(1-\varepsilon<\limsup X_n\leq 1+\varepsilon)$ et on pourrait conclure par intersections dénombrables. Mais je ne suis pas sûr de cette affirmation...
Merci pour votre aide.
Soit $\varepsilon>0$ et les évènements $A_n=\{X_n>1+\varepsilon\}$ et $B_n=\{X_n>1-\varepsilon\}$
Supposons que $\mathbb P(\limsup A_n)=0$ et $\mathbb P(\limsup B_n)=1$. Comment montrer que $\mathbb P(\limsup X_n=1)=1$?
Je me suis dit que si $\limsup A_n=\limsup \{X_n>1+\varepsilon\}=\{\limsup X_n>1+\varepsilon\}$ et de même $\limsup B_n=\limsup \{X_n>1-\varepsilon\}=\{\limsup X_n>1-\varepsilon\}$ alors on aurait que
$1=\mathbb P(\limsup B_n\setminus \limsup A_n)=\mathbb P(1-\varepsilon<\limsup X_n\leq 1+\varepsilon)$ et on pourrait conclure par intersections dénombrables. Mais je ne suis pas sûr de cette affirmation...
Merci pour votre aide.
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Réponses
Après avoir corrigé le problème évident de quantification, tu peux essayer de montrer proprement que $$\limsup_n A_n \supset \{\limsup_n X_n > 1+\varepsilon\}$$ et $$\limsup_n B_n \subset \{\limsup_n X_n \geq 1-\varepsilon\},$$ ce qui suffira à conclure.
Au passage l'hypothèse iid ne sert à rien.
En effet $\omega\in \limsup A_k\iff \forall n\geq 0, \exists k\geq n: X_k(\omega)>1+\varepsilon \iff \limsup X_n(\omega)>1+\varepsilon$.
Le $\implies$ car $\limsup X_n(\omega)$ est la plus grande valeur d'adhérence (=limite de sous-suite).
Et le $\impliedby$ car $\limsup X_n(\omega)$ est une valeur d'adhérence. Non?
Si $\limsup_n X_n(\omega) > 1+\varepsilon$, alors en particulier il existe une infinité de $n$ tels que $X_n(\omega) > 1+\varepsilon$. On ne peut pas remplacer l'hypothèse par $\limsup_n X_n(\omega) \geq 1+\varepsilon$. Contre-exemple : $X_n(\omega) = 1+\varepsilon$ pour tout $n$.
S'il existe une infinité de $n$ tels que $X_n(\omega) > 1-\varepsilon$, alors $\limsup_n X_n(\omega) \geq 1 - \varepsilon$, mais l'inégalité n'est pas forcément stricte. Contre-exemple : $X_n(\omega) = 1-\varepsilon + \frac{1}{n}$ pour tout $n \geq 1$.
Pourquoi est-ce que s'il existe une infinité de $n$ tels que $X_n(\omega)>1-\varepsilon$, alors $\limsup_n X_n(\omega)\geq 1-\varepsilon$?
Comment corriger le problème de quantification?
Ton problème de quantification c'est qu'évidemment l'énoncé est "pour tout $\varepsilon > 0$, $\mathbb P(\limsup_n A_n( \varepsilon)) = 0$ et $\mathbb P(\limsup_n B_n(\varepsilon)) = 1$". Il faut supposer ces égalités pour chaque événement de type $A_n$ et $B_n$, qui dépendent de $\varepsilon$, pas seulement un seul, ce que tu fais implicitement en fixant $\varepsilon$ au début de ton message.