Crochet d'une martingale
Bonjour à toutes et à tous,
Soit M une martingale, qui est de plus un processus gaussien. On note <M,M>, le crochet de M, l'unique processus tel que M2 - <M,M> soit une martingale. Je n'arrive pas à démontrer que le crochet de M est déterministe (pour tout t, <M,M>t est constant), et à trouver la valeur du crochet en fonction de la loi de M.
J'ai essayé de prouver que l'espérance du crochet vérifiait aussi la propriété du crochet comme unique processus tel que M2 - <M,M> soit une martingale, mais cela n'aboutit pas.
Auriez-vous des idées ?
Soit M une martingale, qui est de plus un processus gaussien. On note <M,M>, le crochet de M, l'unique processus tel que M2 - <M,M> soit une martingale. Je n'arrive pas à démontrer que le crochet de M est déterministe (pour tout t, <M,M>t est constant), et à trouver la valeur du crochet en fonction de la loi de M.
J'ai essayé de prouver que l'espérance du crochet vérifiait aussi la propriété du crochet comme unique processus tel que M2 - <M,M> soit une martingale, mais cela n'aboutit pas.
Auriez-vous des idées ?
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Réponses
À partir de là, je crois que c'est facile de montrer que $t\mapsto M_t^2 - \text{var}(M_t)$ est une martingale.
Merci de la réponse. Donc vous considérez Mt2 - Var(Mt), c'est bien ça ?
Edit : Je ne vois pas pourquoi elle serait de covariance nulle ?
Ils demandent ensuite de montrer qu'il existe une fonction mesurable f telle que le crochet de M soit égal à l'intégrale entre 0 et t de f. Je ne vois vraiment pas comment procéder.