Mesure de Lebesgue et fonctions
Bonjour,
Je fais un exercice où il faut trouver prouver la proposition ou trouver un contre-exemple. J'ai des problèmes avec ces deux propositions:
f) Si deux fonctions intégrables coïncident dans un ensemble dense, alors les valeurs des intégrales coïncident.
g) Si deux fonctions coïncident dans un ensemble dense, une d'entre elles est mesurable si et seulement si l'autre fonction est également mesurable.
Je pense que toutes les deux sont fausses mais je ne trouve pas de contre-exemples justifiant la fausseté des données. Pourriez-vous m'aider, svp ?
Je fais un exercice où il faut trouver prouver la proposition ou trouver un contre-exemple. J'ai des problèmes avec ces deux propositions:
f) Si deux fonctions intégrables coïncident dans un ensemble dense, alors les valeurs des intégrales coïncident.
g) Si deux fonctions coïncident dans un ensemble dense, une d'entre elles est mesurable si et seulement si l'autre fonction est également mesurable.
Je pense que toutes les deux sont fausses mais je ne trouve pas de contre-exemples justifiant la fausseté des données. Pourriez-vous m'aider, svp ?
Réponses
-
Pour la f) et la g) il faut se rappeler qu'un ensemble dense peut être de mesure nulle...
-
Pour le f), ça serait possible d'utiliser les fonctions suivantes ?
$f$ est la fonction idéntiquement 1 sur [0,1] et $g$ la fonction de Thomae définie sur l'intervalle [0,1]. -
Avec ton exemple les fonctions $f$ et $g$ ne coïncident pas sur un ensemble dense...
Si tu prends $g$ identiquement nulle tu devrais pouvoir trouver une fonction $f$ qui coïncide avec $g$ sur $\Q$ (qui est dense dans $\R$) mais dont l'intégrale n'est pas égale à celle de $g$. -
Mince, alors je suis perdu...
-
Bonsoir, ce que dit Raoul, si je peux me permettre, c'est que $E = \mathbb{Q} \cap[ [0;\; 1]$ ( Edit: correction ) est dénombrable et de mesure nulle par exemple; tu peux alors considérer la fonction indicatrice de $E$ et évaluer son intégrale.A demon wind propelled me east of the sun
-
Ah bien, je vois. Merci beaucoup de votre aide !
Et pour le g), sauriez-vous un contre-exemple ? -
D'accord. Merci encore une fois !
-
Je ne t'ai pas tout écrit, il faut encore que tu trouves une fonction non mesurable s'annulant sur les rationnels (en partant d'un ensemble non mesurable disons), saurais-tu le faire ?
-
Prenons un ensemble non mesurable $E$ et soit $f=\chi_{E}\cdot\chi_{\mathbb{I}}$ (non mesurable) et $f=g$, où $g$ s'annule sur $\mathbb{Q}$. Ça serait correct ?
-
Peux-tu justifier pourquoi $f$ n'est pas mesurable ?
-
Pas vraiment... c'est un ami qui m'a dit la possibilité mais je n'arrive nulle part.
-
Commence par montrer que l'on peut supposer que $E \subset I$ (j'imagine que $I$ désigne $\mathbb R \setminus \mathbb Q$). Ensuite on aura que $\chi_E$ est non mesurable et s'annule sur $\mathbb Q$, tout comme par exemple $\chi_I$, qui est mesurable.
-
Je vous remercie ! J'ai finalement compris l'exercice.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 42
+34 Invités