Mesure de Lebesgue et fonctions
Bonjour,
Je fais un exercice où il faut trouver prouver la proposition ou trouver un contre-exemple. J'ai des problèmes avec ces deux propositions:
f) Si deux fonctions intégrables coïncident dans un ensemble dense, alors les valeurs des intégrales coïncident.
g) Si deux fonctions coïncident dans un ensemble dense, une d'entre elles est mesurable si et seulement si l'autre fonction est également mesurable.
Je pense que toutes les deux sont fausses mais je ne trouve pas de contre-exemples justifiant la fausseté des données. Pourriez-vous m'aider, svp ?
Je fais un exercice où il faut trouver prouver la proposition ou trouver un contre-exemple. J'ai des problèmes avec ces deux propositions:
f) Si deux fonctions intégrables coïncident dans un ensemble dense, alors les valeurs des intégrales coïncident.
g) Si deux fonctions coïncident dans un ensemble dense, une d'entre elles est mesurable si et seulement si l'autre fonction est également mesurable.
Je pense que toutes les deux sont fausses mais je ne trouve pas de contre-exemples justifiant la fausseté des données. Pourriez-vous m'aider, svp ?
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Réponses
$f$ est la fonction idéntiquement 1 sur [0,1] et $g$ la fonction de Thomae définie sur l'intervalle [0,1].
Si tu prends $g$ identiquement nulle tu devrais pouvoir trouver une fonction $f$ qui coïncide avec $g$ sur $\Q$ (qui est dense dans $\R$) mais dont l'intégrale n'est pas égale à celle de $g$.
Et pour le g), sauriez-vous un contre-exemple ?
Pour la g), tu peux exploiter la même idée. Prends pour $f$ l'indicatrice des irrationnels et pour $g$ une fonction non mesurable qui s'annule sur les rationnels...