$X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
Bonjour, soit $X$ mesurable par rapport à une tribu grossière ($\mathbb P(A)=0$ ou $1$ $\forall A\in \mathscr A$). Je voudrais montrer que $X$ est constante presque sûrement.
Je raisonne par l'absurde en supposant que pour toute constante $e\in E$ ($X$ à valeurs dans $E$), on a que $\mathbb P(X=e)=0$.
On aurait que $\Omega=X^{-1}(E)=X^{-1}(\cup_{e\in E}e)=\cup_{e\in E}X^{-1}(e)$.
On ne peut pas conclure si $E$ n'est pas dénombrable...
Je raisonne par l'absurde en supposant que pour toute constante $e\in E$ ($X$ à valeurs dans $E$), on a que $\mathbb P(X=e)=0$.
On aurait que $\Omega=X^{-1}(E)=X^{-1}(\cup_{e\in E}e)=\cup_{e\in E}X^{-1}(e)$.
On ne peut pas conclure si $E$ n'est pas dénombrable...
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Réponses
Édit : Pardon, je n'avais pas vu que la variable aléatoire n'était pas nécessairement réelle.
Il me semble qu'il faut ajouter une hypothèse pour que ce soit vrai. Sinon, un contre-exemple est donné par $\Omega=E$ un ensemble qui possède une mesure $\sigma$-additive à valeurs dans $\{0,1\}$ et différente d'un Dirac (ça revient à avoir un ultrafiltre $\sigma$-complet non principal, donc c'est possible) et $X = {\rm id}_\Omega$. L'hypothèse $E=\Bbb R$ me paraît pertinente (et la propriété est vraie dans ce cas).
Edit : Je n'avais pas vu le message de MrJ (qui va dans le même sens).
Si $\forall t\in \mathbb R, \mathbb P(X=t)=0$ alors notons $\mathbb R=]-\infty,t[\sqcup \{t\}\sqcup ]t,\infty[=B_1\sqcup B_2\sqcup B_3$.
Vu que $\mathbb P(X\in \mathbb R)=1$ alors par exemple on doit avoir $\mathbb P(X\in B_1)=1$ et $\mathbb P(X\in B_2)=0$.
Vu que c'est vrai pour tout $t\in \mathbb R$, prenons $t_n$ une suite décroissante qui tend vers $-\infty$.
Alors $0=\lim_n \mathbb P(X>t_n)=\mathbb P(\cup_n X>t_n)=\mathbb P(\mathbb R)=0$, donc impossible.
Par l'absurde, soit $\varepsilon>0$ tel que $]t-\varepsilon,\infty[$ est de mesure $1$.
Alors $]-\infty,t[$ est de mesure $1$ et $]t-\varepsilon,\infty[$ est de mesure $1$.
En particulier alors $]-\infty,t-\varepsilon[$ est de mesure $0$, donc $[t-\varepsilon,t[$ est de mesure $1$.
En fait je suis bloqué...
Tu devrais regarder ce message, dans le fil pointé par Chalk. On voit que commencer par considérer un inf permet de terminer facilement la démonstration.