$X$ mesurable tribu asymptotique

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dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, soient $(X_n)_{n\geq 1}$ des v.a. indépendantes. Soit $\mathcal B_n:=\sigma\left(\bigcup_{k\geq n}\sigma(X_k) \right )$ et $\mathcal B_\infty:=\bigcap_{n\geq 1}\mathcal B_n$ la tribu asymptotique.

Alors mon cours affirme la chose suivante:

"$X:=\limsup_{k\to \infty}\frac{1}{k}(X_1+\dots+X_k)=\limsup_{k\to \infty}\frac{1}{k}(X_n+\dots+X_k)\quad \forall n\geq 1$

Donc $X$ est $\mathcal B_n$ mesurable $\forall n\geq 1$, donc $X$ est $\mathcal B_\infty$ mesurable.
Même chose pour $\liminf$.

Donc si $\frac{1}{n}(X_1+\dots+X_n)$ converge presque sûrement alors la limite est constante presque sûrement"

Je ne comprends pas... Merci pour votre aide.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    C'est la loi du zéro-un de Kolmogorov. Voir Wikipedia.
  • Poirot
    Poirot
    Il faudrait préciser quelle partie tu ne comprends pas. En ce qui concerne le dernier point c'est effectivement la loi du $0-1$.
  • Code_Name
    Code_Name
    Je ne comprends pas pourquoi on utilise les $\limsup$ ou $\liminf$.
    Je ne comprends pas comment on affirme que $X$ est $\mathcal B_n$ mesurable $\forall n\geq 1$.
    Je ne comprends pas pourquoi $\limsup_{k\to \infty}\frac{1}{k}(X_1+\dots+X_k)=\limsup_{k\to \infty}\frac{1}{k}(X_n+\dots+X_k)$ ou à quoi sert cette égalité.
  • MrJ
    MrJ
    L’intérêt de la limite supérieure est qu'elle existe tout le temps. De plus, si une suite est convergente, alors sa limite est égale à sa limite supérieure.

    Justement, l'égalité montre que $X$ est une limite d'éléments $\mathcal{B}_n$-mesurables, donc $X$ est aussi $\mathcal{B}_n$-mesurable pour tout entier $n\in\N$.
  • Poirot
    Poirot
    On utilise $\limsup$ et $\liminf$ car on ne sait pas a priori si $\frac{1}{n}(X_1 + \dots X_n)$ converge p.s.

    $X$ est $\mathcal B_n$-mesurable à cause de la seconde formule, qui ne fait intervenir que des $X_i$ avec $i \geq n$.

    Enfin, $$\begin{align*}\limsup_{k\to \infty}\frac{1}{k}(X_1+\dots+X_k)&=\limsup_{k\to \infty}\frac{1}{k}(X_1+\dots+X_{n-1}) + \limsup_{k\to \infty}\frac{1}{k}(X_n+\dots+X_k)\\ &= \limsup_{k\to \infty}\frac{1}{k}(X_n+\dots+X_k),\end{align*}$$ et cette formule sert à montrer la $\mathcal B_n$-mesurabilité comme expliqué ci-dessus.
  • Code_Name
    Code_Name
    D'accord merci :-)
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