Marche aléatoire - coefficient multinomial
Bonjour
Je poursuis ma lecture de "Recueil de modèles stochastqiues" de D.Chafaï et F.Malrieu : Modèles stochastiques
À la page 29, les auteurs étudient la récurrence de la marche aléatoire en dimension 3 avec des arguments combinatoires.
J'ai du mal à comprendre la majoration du coefficient multinomial ("Si n=3m alors une petite étude...").
Merci d'avance pour votre aide.
Estelle
Je poursuis ma lecture de "Recueil de modèles stochastqiues" de D.Chafaï et F.Malrieu : Modèles stochastiques
À la page 29, les auteurs étudient la récurrence de la marche aléatoire en dimension 3 avec des arguments combinatoires.
J'ai du mal à comprendre la majoration du coefficient multinomial ("Si n=3m alors une petite étude...").
Merci d'avance pour votre aide.
Estelle
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Réponses
Avec un coefficient multinomial, j'ordonnerais les $r_i$ de sorte que $r_1\ge r_2\ge r_3$ et je supposerais que $r_1>m$, puis je comparerais $\binom{3m}{r_1\ r_2\ r_3}$ à $\binom{3m}{r_1-1\ r_2\ r_3+1}$ (ou $\binom{3m}{r_1-1\ r_2+1\ r_3}$ ?).
On a $\quad
\binom{i+j+k}{i,j,k} =
\binom{i+j}{i} \times
\binom{i+j+k}{k}\quad $ et symétrisés.
Or, pour $i+j+k=3m$, à moins d'avoir $i=j=k=m$, on a forcément au moins 2 coefficients $i,j,k$ qui diffèrent d'au moins 2. Mettons que ce soient $i,j$.
Mais, dans ce cas, à $i+j$ fixé, le coefficient binomial $\binom{i+j}{i}$ n'est déjà pas maximisé.
Donc, a fortiori, c'est encore moins maximisé pour le coefficient trinomial !
@ marsup : merci !
Estelle
Merci d'avance pour votre aide.
Estelle
Par contre, pour le cas d>3 (en bas de la page 29), j'ai du mal à comprendre l'explication...
Merci d'avance pour vos précisions et explications.