Marche aléatoire - coefficient multinomial

elleest
elleest
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je poursuis ma lecture de "Recueil de modèles stochastqiues" de D.Chafaï et F.Malrieu : Modèles stochastiques

À la page 29, les auteurs étudient la récurrence de la marche aléatoire en dimension 3 avec des arguments combinatoires.
J'ai du mal à comprendre la majoration du coefficient multinomial ("Si n=3m alors une petite étude...").

Merci d'avance pour votre aide.

Estelle

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Si au lieu d'un coefficient multinomial on avait un coefficient binomial $\binom{2m}{r\ s}$, on supposerait par exemple que $r>m$ et on comparerait $\binom{2m}{r\ s}$ à $\binom{2m}{r-1\ s+1}$ (par un quotient).

    Avec un coefficient multinomial, j'ordonnerais les $r_i$ de sorte que $r_1\ge r_2\ge r_3$ et je supposerais que $r_1>m$, puis je comparerais $\binom{3m}{r_1\ r_2\ r_3}$ à $\binom{3m}{r_1-1\ r_2\ r_3+1}$ (ou $\binom{3m}{r_1-1\ r_2+1\ r_3}$ ?).
  • elleest
    elleest
    L'idée consisterait donc à montrer que si un des trois coefficients r1, r2, r3 n'était pas égal à m (par exemple r1=m+1, r2=m-1, r3=m), alors le coefficient multinomial ne serait pas maximal ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Oui, c'est ça. (C'est une façon de montrer l'inégalité arithmético-géométrique d'ailleurs.)
  • elleest
    elleest
    Merci !
  • Math Coss
    Math Coss
    Et, euh... ça marche, alors ?
  • marsup
    marsup
    Ah, je voulais faire la remarque l'autre jour, mais manifestement, j'ai oublié !
    On a $\quad
    \binom{i+j+k}{i,j,k} =
    \binom{i+j}{i} \times
    \binom{i+j+k}{k}\quad $ et symétrisés.
    Or, pour $i+j+k=3m$, à moins d'avoir $i=j=k=m$, on a forcément au moins 2 coefficients $i,j,k$ qui diffèrent d'au moins 2. Mettons que ce soient $i,j$.
    Mais, dans ce cas, à $i+j$ fixé, le coefficient binomial $\binom{i+j}{i}$ n'est déjà pas maximisé.
    Donc, a fortiori, c'est encore moins maximisé pour le coefficient trinomial !
  • elleest
    elleest
    @ Math Coss : oui, ça marche :)

    @ marsup : merci !

    Estelle
  • elleest
    elleest
    J'ai bien compris le cas n=3m mais j'avoue que je ne comprends pas comment les auteurs traitent les cas n=3m+1 et n=3m+2.

    Merci d'avance pour votre aide.

    Estelle
  • marsup
    marsup
    Si c'est encore la même question, tu peux utiliser le même lemme : À $i+j$ fixé, le facteur $\binom{i+j}{i}$ n'est maximisé que si $|i-j| \le 1$.
  • elleest
    elleest
    Merci, je vais tenter :)
  • elleest
    elleest
    J'ai réussi à finaliser.

    Par contre, pour le cas d>3 (en bas de la page 29), j'ai du mal à comprendre l'explication...

    Merci d'avance pour vos précisions et explications.
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