Application aire du domaine où...

anthomedal · April 2021

Bonjour, soit $A$ un ensemble de fonctions définies (par exemple) sur $[0,1]$ à valeurs réelles tel que $\forall u \in A, \ \{x \in [0,1] \mid u(x) = 0 \}\ $ soit mesurable. Je peux définir l'application
\begin{equation}
J : A \rightarrow [0,1], \quad u \mapsto \lambda(\{x \in [0,1] \mid u(x) = 0 \}),

\end{equation} qui à $u$ associe la mesure du domaine sur lequel $u$ s'annule. J'ai imaginé cette application et je me demandais si un tel objet a été étudié. Ici j'ai pris un domaine de définition le plus gros possible, mais d'autres choix sont possibles.
Est-ce que cela dit quelque chose à quelqu'un ?
En particulier, je me demandais si une telle application peut être rendue différentiable...
Merci d'avance et bonne journée

Poirot · April 2021

Avant de parler de différentiabilité, tu peux parler de continuité, mais dans ce cas, ça présuppose une topologie donnée sur $A$. Quelle est-elle ? Pour la différentiabilité, il vaut mieux avoir plus précisément une norme (même si on peut sûrement faire plus général).

anthomedal · April 2021

Je te remercie pour ta réponse. Typiquement, $A$ serait une partie de $L^2([0,1])$, avec donc la norme associée. Par exemple, je me demandais si parmis tous les éléments d'un convexe fermé $C$ qui ne contient pas $0$ (sinon c'est immédiat) on pouvait déterminer celui qui maxmimise $J$. En fait, c'est clairement lié à la mesure du support, pour le formuler autrement.

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