Accélération de convergence en probabilité

Je connais quelques outils pour accélérer la vitesse de convergence d'une suite : Accélération de la convergence
Par contre pour les suites de fonctions, je n'en connais pas. Autre l'idée d'appliquer avec espoir les idées des suites numériques au suite de fonction.

En ce moment je souhaite illustrer une convergence en probabilité
$$
\frac{\left|B_{n}\right|}{\log (n)} \xrightarrow[ n \rightarrow \infty ]{ \mathbb{P}} \theta.

$$ Et la moyenne et la variance de $\left|B_{n}\right|$ sont équivalentes à $\theta \log (n)$ lorsque $n$ tend vers $\infty .$ Ici, la notation log désigne la fonction logarithme naturel (népérien).

Et la fonction de répartition empirique prend pas mal de temps à converger vers la fonction de répartition de la loi $\delta_{\theta}$ en gros un saut en $\theta$. Je suppose que cela est lié à la série harmonique.