Convergence presque sûre ?

Bonjour,

Soit $\mathcal{F}$ une sous-tribu et soit $(X_{n})$ une suite croissante de v.a. positives de carré intégrable vérifiant $ \mathbb{E}(X_{n}\mid\mathcal{F})\nearrow +\infty \;\;p.s. $

A-t-on [que] la suite des v.a. $ \dfrac{X_{n}}{\mathbb{E}(X_{n}\mid\mathcal{F})} $ converge presque sûrement ?
Si oui, A-t-on
$$ \frac{X_{n}}{\mathbb{E}(X_{n}\mid\mathcal{F})}\xrightarrow{p.s.} 1.

$$ Merci beaucoup.