Limite de proba avec convergence en loi

Code_Name · April 2021

Bonjour, soient $(X_n)_n,X$ des v.a. telles que $X_n$ converge en loi vers $X$.
Comment monter que $\lim_{k\to \infty}\limsup_{n\to \infty}\mathbb P(|X_n|\geq k)=0$? Merci.

aléa · April 2021

Pour $x$ grand $P(|X|\ge x)$ est petit. On peut se débrouiller pour que $P(|X|\ge x)=P(|X|>x)$
Et alors pour $n$ grand $P(|X_n|\ge x)$ est proche de $P(|X|\ge x)$.

Code_Name · April 2021

Merci pour votre réponse, c'est un peu trop vague quand même, même si je comprends intuitivement. Comment utiliser la convergence en loi?

Code_Name · April 2021

Je suis désolé de revenir sur cette question mais je n'ai toujours pas compris ton indication aléa.

Je suis d'accord que pour $x$ grand $\mathbb P(|X|\ge x)$ est petit, mais le reste je n'ai pas compris.

D'ailleurs si on réussit à montrer que pour $n$ grand $\mathbb P(|X_n|\ge x)$ est proche de $P(|X|\ge x)$, cela ne revient-il pas à la convergence en fonction de répartition c-à-d la convergence en loi? On ignore si ces fonctions de répartition sont continues en $x$...