V.a. gaussiennes dans $\mathbb R^n$
Bonjour, soit $Y_n=(Y_n^1,\dots,Y_n^n)$ une v.a. dont les composantes $Y_n^i$ sont indépendantes avec loi gaussienne de moyenne $0$ et variance $1$.
Pourquoi est-ce que $Y_n\sim \mathcal N(0,\mathrm{Id}_n)$ où la fonction densité de $N(0,\mathrm{Id}_n)$ est donnée par $p(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det \mathrm{Id}_n} }e^{-\frac{1}{2}\langle x,\mathrm{Id}_n^{-1}x \rangle}$?
Merci.
Pourquoi est-ce que $Y_n\sim \mathcal N(0,\mathrm{Id}_n)$ où la fonction densité de $N(0,\mathrm{Id}_n)$ est donnée par $p(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det \mathrm{Id}_n} }e^{-\frac{1}{2}\langle x,\mathrm{Id}_n^{-1}x \rangle}$?
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Réponses
Dans le cas général où on a $Y_n^i$ des v.a. indépendantes avec moyennes $m_i$ et écarts-types $\sigma_i$, la forme générale de la fonction densité de $Y_n=(Y_n^1,\dots,Y_n^n)$ s'écrit $p(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det A} }e^{-\frac{1}{2}\langle x,A^{-1}x \rangle}$ où $A\in \mathbb R^{n\times n}$ est une matrice strictement positive.
D'après le résultat que vous citez, il faut d'après mes calculs que $A$ soit une matrice telle que $\det A=\sigma_1^2\dots \sigma_n^2$ et $\langle x,A^{-1}x \rangle=\left(\frac{x_1-m_1}{\sigma_1} \right )^2+\dots +\left(\frac{x_n-m_n}{\sigma_n} \right )^2$ mais je ne sais pas à quoi $A$ ressemble...
C'est un sujet extrêment classique qui t'intéresse. Ça s'appelle les vecteurs gaussiens.
Il y a plein de cours en pdf sur internet.