Grands nombres au lycée
Bonjour
Une remarque qui n'a pas vraiment d'intérêt sur le plan mathématique. Elle provient d'une situation rencontrée en classe : au lycée (cf. paragraphe concentration, loi des grands nombres des programmes), et sans doute au delà, il me paraît plus difficile de faire interpréter correctement $\left|x-\mu\right|\geq r$ que $x\in \left]\mu-r,\mu+r\right[$, même si cela fait partie des choses enseignées en seconde. À votre avis, pourquoi la plupart des manuels ne présentent-ils pas la loi faible des grands nombres sous la forme : pour tout réel $r$ strictement positif
$$
\lim_{n\to \infty} P\left(\frac{M_n}{n}\in \left]\mu-r,\mu+r\right[\right)=1 \qquad\text{ou}\qquad \lim_{n\to \infty} P\left(\mu-r<\frac{M_n}{n}<\mu+r\right)=1 \qquad ?
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Une remarque qui n'a pas vraiment d'intérêt sur le plan mathématique. Elle provient d'une situation rencontrée en classe : au lycée (cf. paragraphe concentration, loi des grands nombres des programmes), et sans doute au delà, il me paraît plus difficile de faire interpréter correctement $\left|x-\mu\right|\geq r$ que $x\in \left]\mu-r,\mu+r\right[$, même si cela fait partie des choses enseignées en seconde. À votre avis, pourquoi la plupart des manuels ne présentent-ils pas la loi faible des grands nombres sous la forme : pour tout réel $r$ strictement positif
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\lim_{n\to \infty} P\left(\frac{M_n}{n}\in \left]\mu-r,\mu+r\right[\right)=1 \qquad\text{ou}\qquad \lim_{n\to \infty} P\left(\mu-r<\frac{M_n}{n}<\mu+r\right)=1 \qquad ?
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Réponses
J'en conclus que pour AlainLyon, beaucoup d'élèves, et pas que de seconde, sont aveugles.
Cordialement,
Rescassol
Ainsi, un intervalle étant défini avec des inégalités, « tout est nouveau » et aucune pratique n’est acquise.
C’est partie en 2016. Avant les inéquations étaient au programme et quelques automatismes (on fait ce qu’on peut) existaient encore.
Par exemple, utiliser la lettre Mu $\mu$, c'est parfois éliminatoire, alors que le collègue ne pensait pas à mal.
Donc, oui, tout ça est extrêmement subtil. Si on a une question plus précise, c'est plus facile de se prononcer.
-- Schnoebelen, Philippe
Cordialement.
Je tombe surtout sur des formulations : pour tout réel $r$ strictement positif,
$$
\lim_{n\to \infty} P\left(\left|M_n-\mu\right|\geq r\right)=0.
$$ D'expérience, le travail avec la valeur absolue est casse binette et la distance qu'elle induit n'est pas un truc maîtrisé en terminale (programme de seconde). La formulation d'un résultat (notamment les notations) peut induire un obstacle infranchissable pour un élève lambda. Et le faire passer à côté du cœur du résultat. Prenant acte de cet état de fait (mais le déplorant quand même), je trouve qu'une version "positive" avec intervalle (proba que $M_n$ soit dans n'importe quel intervalle symétrique autour de $\mu$ tend vers $1$) est plus simple à exposer et retenir qu'une version "négative" avec valeur absolue (proba que $M_n$ soit à une distance de $\mu$ supérieure à $r$ tend vers $0$).
Et la question est : pourquoi les collègues qui écrivent des bouquins s'escriment-ils à proposer une présentation potentiellement source de difficultés faciles à contourner ?
Oui, et c’est le sel de la blague qui faisait aussi référence à certains déclinistes pour qui les élèves décrochent quand les nombres deviennent trop grands.
-- Schnoebelen, Philippe
Les 2 écritures à comparer : $|x-x0| < \epsilon$ et $x_0- \epsilon < x < x_0+ \epsilon$
Je pense que dans son 1er message, Magnéthorax a confondu $\ge$ et <. La question est sur l'utilisation des valeurs absolues pour désigner un intervalle centré autour de $x_0$
L'écriture avec les Valeurs absolues est plus condensée, sans être non plus trop condensée, ça me paraît une bonne raison pour préférer cette écriture : On a 3 nombres uniquement, $x$, $x_0$ et $\epsilon$, chacun de ces 3 nombres apparaît une fois et une seule... c'est propre.
Comme marsup, je pense que l'utilisation de lettres grecques crée un blocage, en particulier dès qu'on utilise des lettres grecques autres que les 4 ou 5 les plus connues.
Dans la formule proposée au départ, si on sait que $\mu$ se prononce mu, on retrouve le son m, et donc la notion de moyenne... mais la lettre $r$ n'est pas très explicite.
Dans cette formule, c'est plus le choix de $\mu$ et $r$ qui est problématique, que le choix de passer par des valeurs absolues.
Paradoxalement, $\epsilon$ au lieu de $r$, et la formule devient un peu plus claire.
C'est bien ce que j'avais compris et à quoi je répondais. J'avais repéré la typo de Mgnéthorax.
Le problème est que la valeur absolue n'est maitrisée nulle part au lycée et donc que les élèves n'ont pas besoin d'être aveugles pour avoir du mal avec sa compréhension.
Cordialement,
Rescassol
Ok, Magnéthorax, ça ne change rien à ce que j'en dis après.
Cordialement,
Rescassol