Théorème de prolongement

Bonsoir,
Dans le Calcul intégral de Faraut, on trouve le théorème suivant:

Soient $X$ un ensemble (non vide), $\mathfrak{A}$ une algèbre de Boole de parties de $X$ et $\mathfrak{M}$ la tribu engendrée par $\mathfrak{A}$.
On considère une application $\mu : \mathfrak{A} \mapsto [0,+\infty ] \, \sigma$-finie $($il existe $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathfrak{A}$ tel que $X= \cup_{n \in \mathbb{N}} X_n$ et $\mu(X_n)<\infty, \forall n \in \mathbb{N})$ telle que pour toute famille $\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathfrak{A}$ deux à deux disjoints, $\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathfrak{A} \Rightarrow \mu(\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n)=\sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(A_n).$
Alors $\mu$ se prolonge de façon unique en une mesure sur $\mathfrak{M}$.

Dans la preuve de l'unicité, il affirme que si l'on considère $\lambda$ et $\nu$ deux prolongements de $\mu$ sur $\mathfrak{M}$ alors l'ensemble $\mathfrak{E}=\{ E \in \mathfrak{M} : \lambda(E)=\nu(E)\}$ est une sous-tribu de $\mathfrak{M}$.
Je n'ai pas réussi à le démontrer, j'ai essayé de démontrer les axiomes un à un mais dès la stabilité par passage au complémentaire je ne sais plus faire.
J'apprécierai si quelqu'un pouvait m'aider, me donner une piste ou autre.

Merci d'avance.