Théorème de prolongement
Bonsoir,
Dans le Calcul intégral de Faraut, on trouve le théorème suivant:
Soient $X$ un ensemble (non vide), $\mathfrak{A}$ une algèbre de Boole de parties de $X$ et $\mathfrak{M}$ la tribu engendrée par $\mathfrak{A}$.
On considère une application $\mu : \mathfrak{A} \mapsto [0,+\infty ] \, \sigma$-finie $($il existe $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathfrak{A}$ tel que $X= \cup_{n \in \mathbb{N}} X_n$ et $\mu(X_n)<\infty, \forall n \in \mathbb{N})$ telle que pour toute famille $\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathfrak{A}$ deux à deux disjoints, $\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathfrak{A} \Rightarrow \mu(\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n)=\sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(A_n).$
Alors $\mu$ se prolonge de façon unique en une mesure sur $\mathfrak{M}$.
Dans la preuve de l'unicité, il affirme que si l'on considère $\lambda$ et $\nu$ deux prolongements de $\mu$ sur $\mathfrak{M}$ alors l'ensemble $\mathfrak{E}=\{ E \in \mathfrak{M} : \lambda(E)=\nu(E)\}$ est une sous-tribu de $\mathfrak{M}$.
Je n'ai pas réussi à le démontrer, j'ai essayé de démontrer les axiomes un à un mais dès la stabilité par passage au complémentaire je ne sais plus faire.
J'apprécierai si quelqu'un pouvait m'aider, me donner une piste ou autre.
Merci d'avance.
Dans le Calcul intégral de Faraut, on trouve le théorème suivant:
Soient $X$ un ensemble (non vide), $\mathfrak{A}$ une algèbre de Boole de parties de $X$ et $\mathfrak{M}$ la tribu engendrée par $\mathfrak{A}$.
On considère une application $\mu : \mathfrak{A} \mapsto [0,+\infty ] \, \sigma$-finie $($il existe $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathfrak{A}$ tel que $X= \cup_{n \in \mathbb{N}} X_n$ et $\mu(X_n)<\infty, \forall n \in \mathbb{N})$ telle que pour toute famille $\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathfrak{A}$ deux à deux disjoints, $\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathfrak{A} \Rightarrow \mu(\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n)=\sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(A_n).$
Alors $\mu$ se prolonge de façon unique en une mesure sur $\mathfrak{M}$.
Dans la preuve de l'unicité, il affirme que si l'on considère $\lambda$ et $\nu$ deux prolongements de $\mu$ sur $\mathfrak{M}$ alors l'ensemble $\mathfrak{E}=\{ E \in \mathfrak{M} : \lambda(E)=\nu(E)\}$ est une sous-tribu de $\mathfrak{M}$.
Je n'ai pas réussi à le démontrer, j'ai essayé de démontrer les axiomes un à un mais dès la stabilité par passage au complémentaire je ne sais plus faire.
J'apprécierai si quelqu'un pouvait m'aider, me donner une piste ou autre.
Merci d'avance.
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Réponses
A ma connaissance il n'en parle pas justement, du moins pas avant ce théorème.
Je vais jeter un œil, encore merci.