V.a. dans $\mathbb R^n$ égales

Code_Name · April 2021

Bonjour, soient $X=(X_1,\dots,X_n),\; Y=(Y_1\dots,Y_n)$ des v.a. telles que $X\sim Y$.
Es-ce que $X_i\sim Y_i\; \forall i$ ? Merci.

Math Coss · April 2021

Évidemment non !

marsup · April 2021

Moi, il me semble plutôt que oui, mais Math Coss me met le doute !
(je plaisante, bien sûr que oui, à moins que je ne comprenne pas la question !)

Les marginales sont-elles déterminées par la loi conjointe ? Oui.

Si je transporte deux fois la même mesure, deux fois de la même manière, j'obtiens deux fois le même résultat... Dit comme ça... ?

Code_Name · April 2021

D'après un corrigé il me semble que c'est vrai mais si je prends $(X_1,X_2)$ et $(Y_1,Y_2)$ avec respectivement comme fonctions densité $f_1,f_2$ et $g_1,g_2$, ne pourrais-je pas les choisir telles que $f_1f_2=g_1g_2$ sans pour autant que $f_i=g_i\; \forall i$?

marsup · April 2021

Oui, enfin, tu veux évidemment dire : $\quad f_1 \otimes f_2 : (x,y) \mapsto f_1(x) \cdot f_2(y)$.

Et donc, si ! bien sûr, si tout le monde est bien une densité, on a bien l'implication :
$$ \big[ f_1 \otimes f_2 = g_1 \otimes g_2 \big] \quad \Longrightarrow \quad \big[ f_i = g_i\big].$$

gerard0 · April 2021

Quel rapport avec la loi du couple ? Comment est définie la loi de $(X_1,X_2)$ ?

Cordialement.

Code_Name · April 2021

D'accord marsup, merci. Est-ce que vous pouvez me montrer comment le démontrer (le cas général dans $\mathbb R^n$)?

marsup · April 2021

Tu peux regarder pp 95-96 ici : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~jflegall/IPPA2.pdf

Code_Name · April 2021

Merci, mais j'ai un petit doute. La dérivée de Radon Nikodym n'est pas forcément unique il me semble.

En prenant les notations de la proposition 8.1.2, même si $X=(X_1,\dots,X_d)$ a une densité $p(x_1,\dots,x_d)$ on n'a pas forcément que c'est la même densité que $Y=(Y_1,\dots,Y_d)$ bien que $X\sim Y$ non?

Et dans ce cas on n'a pas forcément le même $p_1(x)$ pour $X_1$ et $Y_1$ il me semble...

V.a. dans $\mathbb R^n$ égales

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